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Mathematik » Geometrie » Hyperbolische Kreise
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Universität/Hochschule Hyperbolische Kreise
Naedonski
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Mitteilungen: 1
  Themenstart: 2021-08-03

Hello, ich würde gerne zeigen, dass hyperbolische Kreise in der Halbebene \(\mathbb{H}\) euklidischen Kreisen mit einem anderen Mittelpunkt entsprechen. Der hyperbolische Abstand in der Ebene ist gegeben durch: \(d(z_0,z)=\cosh^{-1}(1+\frac{z_0-z}{2 \Im(z_0)\Im(z)})\) Beginnen wir mit der Hinrichtung: Sei also \(K\subset\mathbb{H}\) ein hyperbolischer Kreis mit Mittelpunkt \(z_0\) und Radius \(r\). Für jedes \(z\in K\) gilt dann \( d(z_0,z)=\cosh^{-1}(1+\frac{z_0-z}{2 \Im(z_0)\Im(z)})=r \Leftrightarrow \frac{|z_0-z|^2}{\Im(z)}=2\Im(z_0)(\cosh(r)-1). \) Hilft es hier nun eine bestimme Möbiustransformation anzuwenden? Für die Rückrichtung nehmen wir an, dass wir einen euklidischen Kreis \(K\) mit Radius \(r\) und Mittelpunkt \(x_0\) haben. Damit gilt für alle \(x\in K\): \(|x-x_0|=r\) Auch hier benötigt man wahrscheinlich eine Möbiustrafo... Ich wäre dankbar für ein paar Tipps :)

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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-07

Hallo Naedonski, herzlich willkommen auf dem Matheplanet! In https://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Hyperbolische_Geometrie.pdf ist eine Abbildung dazu, auf Seite 53 die Abb. 17. Die rot eingezeichneten hyperbolischen Kreise um einen Punkt H sind euklidische Kreise um gegenüber H verschobene, auch rot eingezeichnete Mittelpunkte. In den Berechnungen davor ist von Geraden- und Kreisspiegelungen die Rede, gut möglich, dass das mit solchen Möbiustransformationen zu beweisen geht. Viele Grüße, Stefan

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