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Mathematik » Topologie » Eine Anwendung des Satzes von Banach Steinhaus
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Beruf Eine Anwendung des Satzes von Banach Steinhaus
sulky
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  Themenstart: 2021-08-03

Hallo Zusammen, Die Frage ist wohl im Wesentlichen darauf zurückzuführen wann zwei $sup$ vertauscht werden dürfen, aber auch auf die Frage nach Zusammenhängen zwischen Funktionsnomren und den Normen ihrer Argumente. Wann gilt für eine Abbildungsfamilie $(f_x)_{x\in E}$ $sup_{x\in E} \;sup_{y\in E}\|f_x(y)\|=?=sup_{y\in E} \;sup_{x\in E}\|f_x(y)\|=?=sup_{(x,y)\in E\times E}\|f_x(y)\|$ Und gibt es Zusammenhänge wie $\|f_x(y)\|\le\|f_x\| \cdot \|x\|$ oder ähnliches. Aber der Reihe nach. Aufgabe: Sei $E$ ein Banchraum und $F$ ein normierter Vektorraum. $f:E\times E\to f$ sei eine separat stetige bilineare Abbildung. Zeige dass $f$ stetig ist auf $E\times E$ Lösungsanfang: Sei $f:E\times E\to F$ eine separat stetige Abbildung. Somit ist für jedes $y\in E$ die Abbildung $f_y$ stetig. Somit existiert $C_y>0$ sodass $\forall x \in E \|f_y(x)\|_F=\|f(x,y)\|_F\le C_y\|x\|_E$ Ausserdem, immer noch weil f separat stetig ist, für jedes $x\in B_E\subset E$, die lineare abbildung $f_x$ stetig. Ausserdem wissen wir von der vorhergehenden Ungleichung dass: $sup_{x\in B_E} \|f_x(y)\|_F=sup_{x\in B_E}\|f(x,y)\|_F\le C_y<\infty$ Weil $E$ ein Banachraum ist und $F$ ein normierter Vektorraum ist, können wir für $(f_x)_{x\in B_E}$ den Satz von Banach anwenden und erhalten: $sup_{x\in B_E} \|f_x\|_{B(E,F)}=C<\infty$ somit haben wir: $\forall x \in B_E \forall y\in E \|f(x,y)\|_F=\|f_x(y)\|_F\le C\|y\|_E$ Diese letzte Ungleichung ging mir zu schnell. $\|f_x(y)\|_F\le C\|y\|_E$ wie man darauf kommt, das habe ich nicht verstanden.


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-04

Moin sulky, stellen wir mal \quoteon(2021-08-03 23:47 - sulky im Themenstart) Aufgabe: Sei $E$ ein Banchraum und $F$ ein normierter Vektorraum. $f:E\times E\to f$ sei eine separat stetige bilineare Abbildung. Zeige dass $f$ stetig ist auf $E\times E$ \quoteoff voran. \quoteon(2021-08-03 23:47 - sulky im Themenstart) Wann gilt für eine Abbildungsfamilie $(f_x)_{x\in E}$ $sup_{x\in E} \;sup_{y\in E}\|f_x(y)\|=?=sup_{y\in E} \;sup_{x\in E}\|f_x(y)\|=?=sup_{(x,y)\in E\times E}\|f_x(y)\|$ \quoteoff Die drei obigen Ausdrücke sind stets gleich und haben für $f = 0$ den Wert $0$ bzw. für $f \neq 0$ den Wert $\infty$, was also nicht sonderlich vielsagend ist. \quoteon(2021-08-03 23:47 - sulky im Themenstart) Und gibt es Zusammenhänge wie $\|f_x(y)\|\le\|f_x\| \cdot \|x\|$ oder ähnliches. \quoteoff Es gilt hier $\|f_x(y)\| \le \|f_x\| \|y\|$, aber ein Zusammenhang wie der obige für $f_x \neq 0$ nicht, und für $f_x = 0$ ist selbiger trivialerweise erfüllt; etwas Derartiges ist hier aber auch nicht vonnöten. \quoteon(2021-08-03 23:47 - sulky im Themenstart) Sei $f:E\times E\to F$ eine separat stetige Abbildung. Somit ist für jedes $y\in E$ die Abbildung $f_y$ stetig. Somit existiert $C_y>0$ sodass $\forall x \in E \|f_y(x)\|_F=\|f(x,y)\|_F\le C_y\|x\|_E$ Ausserdem, immer noch weil f separat stetig ist, für jedes $x\in B_E\subset E$, die lineare abbildung $f_x$ stetig. Ausserdem wissen wir von der vorhergehenden Ungleichung dass: $sup_{x\in B_E} \|f_x(y)\|_F=sup_{x\in B_E}\|f(x,y)\|_F\le C_y<\infty$ Weil $E$ ein Banachraum ist und $F$ ein normierter Vektorraum ist, können wir für $(f_x)_{x\in B_E}$ den Satz von Banach anwenden und erhalten: $sup_{x\in B_E} \|f_x\|_{B(E,F)}=C<\infty$ somit haben wir: $\forall x \in B_E \forall y\in E \|f(x,y)\|_F=\|f_x(y)\|_F\le C\|y\|_E$ \quoteoff Tatsächlich verwendet man hier sogar den Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit (ein unmittelbares, aber aufgrund seiner vielfältigen Anwendungen eigens benamstes Korollar aus dem Satz von Banach-Steinhaus). Da ich diesen Thread auch mitverfolgt habe, gehe ich außerdem davon aus, dass \[B_E = K_1(0) = \{x \in E: \|x\| \le 1\}\] gilt. \quoteon(2021-08-03 23:47 - sulky im Themenstart) Diese letzte Ungleichung ging mir zu schnell. $\|f_x(y)\|_F\le C\|y\|_E$ wie man darauf kommt, das habe ich nicht verstanden. \quoteoff Seien $x \in B_E$ und $y \in E$, dann folgt aus $\|f_x\| \le \sup_{x' \in B_E} \|f_{x'}\| = C$ die Beziehung \[\|f_x(y)\| \le \|f_x\| \|y\| \le C \|y\|.\] Daraus kann man nun direkt die Stetigkeit der bilinearen Abbildung $f$ folgern. LG, semasch


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sulky
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-04

Hallo Semasch und vielen Dank für deine schnelle Antwort. Also mit der Vertauschung der $sup$ sehe ich jetzt auch, dass im falle von linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen die Sache sehr offensichtlich ist. Deine Aussage bezüglich $\|f_x(y)\|\le\|f_x\|\cdot\|y\|$ habe ich leider nicht ganz verstanden. Gilt dies allgemein für lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen? der Ausdruck $B_E$ steht bei uns für die offene Einheitskugel, also $\{x\in E|\|x\|<1\}$ und nicht $\{x\in E|\|x\|\le1\}$ Aber nun eben doch $\|f_x(y)\|\le\|x\|\cdot\|f_x\|$ Gegeben dass $sup_{x \in B_E}\|f_x\|_{B(E,F)}=C$ folgt dass $\forall x\in B_E \; \forall y \in E \; \|f(x,y)\|_F\le \|f_x(y)\|_F\le \|f_x\|\cdot \|y\|\le sub_{x\in B_E}\|f_x\|\cdot\|y\|= C\|y\|$ Nun haben wir zumindes mal das richtige Resultat, aber eben, das $\|f_x(y)\|_F\le \|f_x\|\cdot \|y\|$ habe ich noch immer nicht ganz verstanden. Weiter folgt in der Musterlösung dass man aufgrund der Homogenität sofort sieht dass $\forall x\in E\; \forall y\in E \; \|f(x,y)\|_F\le C\|x\|\cdot \|y\|$ Ich sehe es leider nicht. die ganzen überlegungen für $\|f_x(y)\|$ basieren darauf, dass $x$ in der Einheitskougel ist. Für $x\in E$ ist es doch eine andere Sache. Für mich ist die Aufgabe hier noch nicht zu ende. Insbesondere bezweifle ich, dass hier erneut dasselbe $C$ zur Abschätzung verwendet werden kann.


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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-04

\quoteon(2021-08-04 17:57 - sulky in Beitrag No. 2) Deine Aussage bezüglich $\|f_x(y)\|\le\|f_x\|\cdot\|y\|$ habe ich leider nicht ganz verstanden. Gilt dies allgemein für lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen? \quoteoff Das ist (wenn gültig für alle $y \in E$, was hier wegen der Voraussetzung der separaten Stetigkeit der Fall ist) die definierende Eigenschaft der Beschränktheit von $f_x$ (im Sinne von linearen Abbildungen), die wiederum wegen der Linearität von $f_x$ äquivalent zur Stetigkeit von $f_x$ ist. \quoteon(2021-08-04 17:57 - sulky in Beitrag No. 2) der Ausdruck $B_E$ steht bei uns für die offene Einheitskugel, also $\{x\in E|\|x\|<1\}$ und nicht $\{x\in E|\|x\|\le1\}$ \quoteoff Alles klar, für die vorliegende Aufgabe ist es aber besser, die abgeschlossene Einheitskugel zu verwenden (funktioniert beides). \quoteon(2021-08-04 17:57 - sulky in Beitrag No. 2) Aber nun eben doch $\|f_x(y)\|\le\|x\|\cdot\|f_x\|$ \quoteoff Das gilt, wie gesagt, nur für $f_x = 0$, hilft also nicht wirklich weiter. \quoteon(2021-08-04 17:57 - sulky in Beitrag No. 2) Gegeben dass $sup_{x \in B_E}\|f_x\|_{B(E,F)}=C$ folgt dass $\forall x\in B_E \; \forall y \in E \; \|f(x,y)\|_F\le \|f_x(y)\|_F\le \|f_x\|\cdot \|y\|\le sub_{x\in B_E}\|f_x\|\cdot\|y\|= C\|y\|$ Nun haben wir zumindes mal das richtige Resultat, aber eben, das $\|f_x(y)\|_F\le \|f_x\|\cdot \|y\|$ habe ich noch immer nicht ganz verstanden. \quoteoff Das folgt, wie oben ausgeführt, direkt aus der Voraussetzung der Aufgabe. \quoteon(2021-08-04 17:57 - sulky in Beitrag No. 2) Weiter folgt in der Musterlösung dass man aufgrund der Homogenität sofort sieht dass $\forall x\in E\; \forall y\in E \; \|f(x,y)\|_F\le C\|x\|\cdot \|y\|$ Ich sehe es leider nicht. die ganzen überlegungen für $\|f_x(y)\|$ basieren darauf, dass $x$ in der Einheitskougel ist. Für $x\in E$ ist es doch eine andere Sache. Für mich ist die Aufgabe hier noch nicht zu ende. Insbesondere bezweifle ich, dass hier erneut dasselbe $C$ zur Abschätzung verwendet werden kann. \quoteoff Du weißt, dass für $x \in K_1(0)$ und $y \in E$ gilt \[\|f(x,y)\| \le C \|y\|. \tag{1}\] Seien jetzt $x,y \in E$ und $x \neq 0$, dann ist $\frac{1}{\|x\|} x \in K_1(0)$. In $(1)$ eingesetzt folgt \[\frac{1}{\|x\|}\|f(x,y)\| = \left\|f\left(\frac{1}{\|x\|}x,y\right)\right\| \le C \|y\|,\] also \[\|f(x,y)\| \le C \|x\| \|y\|. \tag{2}\] Für $x = 0$ ist $(2)$ trivialerweise erfüllt. LG, semasch


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