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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Separable Körpererweiterung
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Universität/Hochschule Separable Körpererweiterung
HalloWelt
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  Themenstart: 2021-08-04

Hallo zusammen, ich habe da eine Frage zur Definition der Galois-Gruppe eines separablen Polynoms. "Die Galois-Gruppe eines separablen Polynoms \el\ IK[x] ist die Galois-Gruppe des Zerfällungskörpers (des Polynoms) über dem Grundkörper IK." Da das Polynom nur endliche viele Nullstellen hat (f!=0) ist die Körpererweiterung endlich und algebraisch. Sie ist auch normal, denn sie ist ein Zerfällungskörper einer Menge von Polynomen {f} aus IK[x] (das hatten wir schon gezeigt). Damit die Erweiterung galoissch ist, muss sie aber zusätzlich auch noch separabel sein. Warum aber ist durch die Bedingung "f sei separabel" sofort die ganze Erweiterung separabel? Das die Erweiterung separabel ist, bedeutet ja, dass das Minimalpolynom eines jeden Elementes aus der Erweiterung separabel ist, oder irre ich mich da? Hat hier jemand einen Ansatzpunkt für mich? Viele Grüße


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-04

Der Zerfällungskörper wird von separablen Elementen (den Nullstellen von $f$) erzeugt und ist damit separabel (Stacks/09HC).


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