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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Periodische Lösungen beim linearen Oszillator
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Universität/Hochschule J Periodische Lösungen beim linearen Oszillator
oeselbroet
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.10.2014
Mitteilungen: 13
  Themenstart: 2021-08-10

Hallo Leute, ich betrachte den linearen Oszillator \(\ddot{x} + \omega x = p(t),\) mit einer stetigen 1-periodischen Funktion \(p(t)\) und \(\tfrac{\omega}{2\pi}\notin\mathbb{N}\), also im nicht resonanten Fall. Hier frage ich mich, warum es eine 1-periodische Lösung gibt. In den papern die ich gelesen habe steht immer nur "it is well known" und so was. Kann mir jemand weiterhelfen? Für trigonometrische Funktionen \(p\) ist die Lösung ja explizit und einfach zu errechnen. Also vielleicht was mit Fourier? Aber \(p\) ist eben auch nur stetig. Beste Grüße, oeselbroet


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zippy
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Mitteilungen: 2657
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-10

Wenn wir diese DGL als ein System aus zwei Gleichungen erster Ordnung schreiben, hat sie die Form$$ \dot x(t) = L\,x(t)+p(t) $$und die allgemeine Lösung$$ x(t)=e^{Lt}\,a+\int_0^te^{L(t-s)}\,p(s)\,\mathrm ds $$mit dem freien Parameter $a$. Wenn $p$ eine $T$-periodische Funktion ist, haben wir$$\begin{align*} x(t+T)&=e^{L(t+T)}\,a+\int_0^{t+T}e^{L(t+T-s)}\,p(s)\,\mathrm ds \\[1.5ex] &=e^{Lt}\left[e^{LT}a+\int_0^Te^{L(T-s)}\,p(s)\,\mathrm ds\right] + \int_T^{t+T}e^{L(t+T-s)}\,p(s)\,\mathrm ds \\[1.5ex] &=e^{Lt}\left[e^{LT}a+\int_0^Te^{L(T-s)}\,p(s)\,\mathrm ds\right] + \int_0^te^{L(t-s)}\,p(s)\,\mathrm ds \;. \\[1.5ex] \end{align*} $$Also erhalten wir ein $T$-periodisches $x$, wenn wir $a$ als Lösung von$$ \left(1-e^{LT}\right)a = \int_0^Te^{L(T-s)}\,p(s)\,\mathrm ds $$wählen. Im nicht resonanten Fall ist das möglich, weil dann $1-e^{LT}$ regulär ist. --zippy


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oeselbroet
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 13
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-11

Hallo zippy, vielen Dank für die schnelle und gut nachvollziehbare Antwort :) Das hat mir wirklich weitergeholfen. Beste Grüße, oesel


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