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 Schachtelproblem |
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Loesungsmenge
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 13.10.2006
Mitteilungen: 323
 |  Themenstart: 2021-08-14
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Liebe Geometer,
ein ganz praktisches Problem vom letzten Umzug: Passt ein Schrank im Ganzen in den Aufzug? Mathematisch formuliert:
Es seien S und L zwei Quader mit Kantenlängen 0 < S_1 <= S_2 <= S_3 bzw.
0 < L_1 <= L_2 <= L_3 und vol S := S_1 * S_2 * S_3 < vol L := L_1 * L_2 * L_3.
Offensichtlich passt Quader S in Quader L, wenn S_1 <= L_1 UND S_2 <= L_2 UND S_3 <= L_3. Aber von diesem trivialen Fall abgesehen, wie lauten notwendige und hinreichende Bedingungen an die S_i und L_i, damit S in L hineinpasst? (wenn also für mindestens ein i gilt: S_i > L_i )
Eine offensichtliche notwendige Bedingung ist, dass die Raumdiagonale von S in L passt (also kleiner als dessen Raumdiagonale ist)
S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 <= L_1^2 + L_2^2 + L_3^2
Das Problem kann auf beliebige Dimensionen erweitert werden - der ebene Fall (D = 2) mag für den Einstieg am anschaulichsten sein.
Weiterhin kann man das Problem durch Normierung (z.B. auf vol L = 1) reduzieren, denn wenn S (nicht) in L passt, passt \lambda*S (nicht) in \lambda*L.
Ich bin gespannt, ob ihr mir weiterhelfen könnt - für den nächsten Umzug😉
Liebe Grüße
Lösungsmenge
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10896
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-14
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
da du von Anfang an forderst, dass die Ausrichtung der beiden Quader nach der Kantenlänge durch \(x_1\le x_2\le x_3\) gleich ist, darf es den Fall \(S_i>L_i\) IMO nicht geben. Sonst passt der 'kleinere' Quader nicht in den größeren.
EDIT: da hatte ich die Fragestellung gründlich missverstanden (vielen Dank @zippy). Sorry.
Gruß, Diophant \(\endgroup\)
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4965
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-08-14
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\quoteon(2021-08-14 12:45 - Diophant in Beitrag No. 1)
da du von Anfang an forderst, dass die Ausrichtung der beiden Quader nach der Kantenlänge durch \(x_1\le x_2\le x_3\) gleich ist, darf es den Fall \(S_i>L_i\) IMO nicht geben. Sonst passt der 'kleinere' Quader nicht in den größeren.
\quoteoff
Betrachte $S$ mit $(S_1,S_2,S_3)=(1,11,20)$ und $L$ mit $(L_1,L_2,L_3)=(10,10,20)$. Es ist $S_2>L_2$, aber trotzdem passt $S$ in $L$ hinein.
--zippy
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Ixx
Aktiv
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 364
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-14
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Also zumindest muss die Summe der Kantenlängen des inneren Quaders kleiner gleich der des äußeren sein. Dergleichen war auch schon mal eine Wettbewerbsaufgabe: MO-Aufgabe 501342.
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Loesungsmenge
Wenig Aktiv
Dabei seit: 13.10.2006
Mitteilungen: 323
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-19
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Hallo zusammen,
erstmal vielen Dank für die raschen Antworten. Ja, zippy hat Recht: die Aufgabe war so zu verstehen, dass die Kanten der beiden Quader nicht parallel zueinander sein müssen - das ist ja der langweilige Fall. Es geht eher darum herauszufinden, ob man den kleinen Quader durch geeignete Drehung im großen unterbringen kann (bzw. den Schrank im Fahrstuhl, um bei der praktischen Anwendung zu bleiben).
Offenbar ist die Lösung nicht so einfach wie ich gehofft hatte.
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