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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Basis von kern(f) und Bild(f)
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Universität/Hochschule J Basis von kern(f) und Bild(f)
WernerF
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  Themenstart: 2021-08-20

Folgende Aufgabe Sei f : M22(R) → R[T] definiert durch f (a,b,c,d) wird abgebildet auf (a+b) + (a + b)T + (a + b + c + d)T^2 Gesucht wird eine Basis von Kern(f) und Bild von (f) Basis von kern(f) habe ich berechnet mit (1,-1;0,0) und (0,-0;1,-1) Bei der Basis vom Bild von f habe ich Probleme, Ansatz wäre eine kanonische Basis von M22 zu nehmen und die auf die Funktion Abbilden, und da weiss ich jetzt nicht wie das geht


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-08-20 11:43 - WernerF im Themenstart) Folgende Aufgabe Sei f : M22(R) → R[T] definiert durch f (a,b,c,d) wird abgebildet auf (a+b) + (a + b)T + (a + b + c + d)T^2 Gesucht wird eine Basis von Kern(f) und Bild von (f) Basis von kern(f) habe ich berechnet mit (1,-1;0,0) und (0,-0;1,-1) \quoteoff Das ist ok (nur \(-0\) macht eher keinen Sinn. 😉) \quoteon(2021-08-20 11:43 - WernerF im Themenstart) Bei der Basis vom Bild von f habe ich Probleme, Ansatz wäre eine kanonische Basis von M22 zu nehmen und die auf die Funktion Abbilden, und da weiss ich jetzt nicht wie das geht \quoteoff Das ist doch genau die richtige Idee. Die kanonische Basis von \(\IR^{2,2}\) besteht ja aus allen vier möglichen Matrizen, bei denen ein Eintrag 1 und die anderen Null sind. Jede dieser Matrizen führt dabei zu einem Polynom. Wie viele unterschiedliche Polynome solltest du dann nach dem Rangsatz so erhalten?... Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant]\(\endgroup\)


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WernerF
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-20

Also laut Rangsatz wäre Dim(M22) = dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) wäre also 4 = 2 +2 Müsste also dim(bild(f)) gleich 2 sein ?


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-08-20 12:17 - WernerF in Beitrag No. 2) Also laut Rangsatz wäre Dim(M22) = dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) wäre also 4 = 2 +2 Müsste also dim(bild(f)) gleich 2 sein ? \quoteoff Genau. Rechne doch mal. Welches Polynom bekommst du für \(a=1\), \(b=c=d=0\)? Usw... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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WernerF
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-20

Genau da ist der Knoten in meinem Gehirn, wie bilde ich die einheitsmatrizen auf die Polynome ab. Ich habe im Moment keinen Plan


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Du musst doch nur die Werte der Variablen \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) in dein Polynom \[P(T)=(a+b)+(a+b)\cdot T+(a+b+c+d)\cdot T^2\] einsetzen. Für \(a=1,\ b=c=d=0\) erhält man sofort \(1+T+T^2\). Welches dazu teilerfremde Polynom lässt sich auf diese Weise noch finden? Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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WernerF
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-20

wenn ich (a,b,c,d) auf (a+b) und (a+b+c+d) abbilde erhalte ich (1,0,0,0) (0,1,0,0) und (1,1,1,1) aber wie bringt mich das weiter ?


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-08-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, hm, ich verstehe den Knoten noch nicht so ganz, um ehrlich zu sein. Du hast also ein Polynom der Form \[P(T)=a+b+(a+b)\cdot T+(a+b+c+d)\cdot T^2\] Darin sind a, b, c und d nach Voraussetzung reelle Zahlen. Die kann man also einsetzen. Für \(a=1,\ b=c=d=0\) erhält man so das Polynom \[1+0+(1+0)\cdot T+(1+0+0+0)\cdot T^2=1+T+T^2\] Das ist schonmal ein Element der gesuchten Basis. Für \(a=c=d=0, b=1\) bekommt man das gleiche Polynom. Wie sieht es für \(c=1, a=b=d=0\) aus? Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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WernerF
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-20

ah langsam wirds klarer für c=1 a=b=d=0 erhält man (0+0)+(0+0)T + (0+0+1+0)T^2 = T^2 und das wäre dann die Basis danke für deine geduldigen Bemühungen


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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-08-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Genau. Und für \(a=b=c=0,\ d=1\) bekäme man ebenfalls wieder \(T^2\). Also zwei Elemente, wie der Rangsatz schon verraten hatte. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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