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Strukturen und Algebra » Polynome » Erweiterter Euklidischer Algorithmus mit Polynomen
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Kein bestimmter Bereich J Erweiterter Euklidischer Algorithmus mit Polynomen
Nunie
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  Themenstart: 2021-08-22

Habe hier eine Teilrechnung bei der es um den erweiterten euklidischen Algorithmus für Polynome geht. \(f=(T+1)^2\) \(g=T^2\) Teilt man f durch g erhält man \(1 Rest 2T+1\) Der ggT wäre also 1. Wie kommt man jetzt auf a,b das gilt: \(1=a*f+b*g\) ? Vielen Dank


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LetsLearnTogether
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-23

Hallo, weißt du denn wie man dies im ganzrationalen Fall machen würde? Ein Beispiel: $\mathrm{ggT}(23,7)=\color{blue}{1}$ Führt man den euklidischen Algorithmus aus, so erhält man: $23=3\cdot 7+\color{red}{2}$ (1) $7 =3\cdot 2+\color{blue}{1}$ (2) $2 = 2\cdot 1+0$ Nun würde man jeweils "Rückwärts" nach den Resten auflösen, und diese dann entsprechend einsetzen. Aus der Gleichung (2) kriegen wir $\color{blue}{1}=7-3\cdot \color{red}{2}$ Mit der Gleichung (1) erhalten wir $2=23-3\cdot 7$, also für $\color{red}{2}$ eingesetzt, erhalten wir: $\color{blue}{1}=7-3\cdot (\color{red}{23-3\cdot 7})$ Rechnen wir dies aus, und fassen zusammen, erhalten wir $1=7-3\cdot 23+9\cdot 7$ $1=-3\cdot 23+10\cdot 7$ Mit Polynomen geht es dann genauso.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-08-23

Hallo Nunie, \quoteon(2021-08-22 23:36 - Nunie im Themenstart) \(f=(T+1)^2\) \(g=T^2\) Teilt man f durch g erhält man \(1~ Rest ~2T+1\) Der ggT wäre also 1. \quoteoff Du bist noch nicht fertig mit dem Algorithmus. \(f = 1\cdot g+(2T+1)\) Und so geht es weiter: \(g =(\frac12T-\frac14)\cdot(2T+1)+\frac 14\) \(2T+1=(8T+4)\cdot\frac 14+0\) Du musst so lange weitermachen, bis hinten eine 0 steht. Dann weißt du, dass der ggT gleich \(\frac14\) ist.


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-23

\quoteon(2021-08-23 13:11 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2) Dann weißt du, dass der ggT gleich \(\frac14\) ist. \quoteoff Da der ggT nur bis auf Einheiten eindeutig ist, ist das äquivalent zu: \quoteon(2021-08-22 23:36 - Nunie im Themenstart) Der ggT wäre also 1. \quoteoff


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Nunie
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-23

\quoteon(2021-08-23 13:11 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2) Hallo Nunie, \quoteon(2021-08-22 23:36 - Nunie im Themenstart) \(f=(T+1)^2\) \(g=T^2\) Teilt man f durch g erhält man \(1~ Rest ~2T+1\) Der ggT wäre also 1. \quoteoff Du bist noch nicht fertig mit dem Algorithmus. \(f = 1\cdot g+(2T+1)\) Und so geht es weiter: \(g =(\frac12T-\frac14)\cdot(2T+1)+\frac 14\) \(2T+1=(8T+4)\cdot\frac 14+0\) Du musst so lange weitermachen, bis hinten eine 0 steht. Dann weißt du, dass der ggT gleich \(\frac14\) ist. \quoteoff StrgAltEntf jetzt wirds klar. Ich hab zu früh aufgehört. So kann ich weitermachen. Vielen Dank


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