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 Parkettierung Fünfeck Typ 9 Bestimmung der Variablen |
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Madunicorn
Junior 
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Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2021-09-13
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Hallo liebes Forum,
ich möchte grade in CAD eine Parkettierung darstellen und habe mir dafür die Parkettierung mit Fünfecken ausgesucht, speziell jene, die mit Typ 9 von Marjorie Rice bezeichnet wird. ( hier )
Hier stehe ich grade etwas auf dem Schlauch und komme auch grade beim googlen nicht richtig weiter.
Nun gelten für dieses Fünfeck folgende Formeln:
b=c=d=e ; 2A+C=360° D+2E=360°
Ein Fünfeck ist ja durch die Definition von 7 "Eckdaten" bestimmt (auch wenn ich nicht genau herausfinden kann, worauf das beruht). Wenn ich nun in CAD b und damit dann folglich insgesamt vier Seiten bestimme lassen sich nicht alle vier Winkel der Formeln oben entsprechend bestimmen. Nach der Eingabe von drei Winkeln ist schluss und der Rest der Winkel ergibt sich dann automatisch. Jedoch ergibt sich dann ein Winkel, der die oben genannten Formeln nicht erfüllt und somit eine Parkettierung ohne Lücken nicht möglich ist.
Als Beispiel als Eingabe: b=c=d=e=100mm; D=60° und mit der oberen Formel dann E=150° und A=105°. Nun ergibt sich der Winkel C automatisch zu 148°, er müsste nach den Formeln aber bei 150° liegen, um die Formeln oben zu erfüllen.
Durch rumprobieren bekommt man natürlich irgendwann halbwegs Winkel und Maße heraus, die zumindest bis zu einer bestimmten Nachkommastelle die Formeln erfüllen, dies ist aber eher unbefriedigend.
Vielleicht kann mir ja jemand aus dem Forum weiterhelfen, welche Formeln in einem Fünfeck noch gelten und womit ich dieses berechnen kann.
Klar gilt natürlich noch die Summe der Innenwinkel auf 540°, dies reicht allerdings mit den anderen Formeln noch nicht aus, um alle Parameter zu berechnen.
Danke schonmal für eure Hilfe!!😃
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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
haribo
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| Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-27
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hallo madunicorn,
ich bekomme den typ 9 mit deinen angaben auch nicht konstruiert, möglicherweise hat sich irgendwo ein definitionsfehler eingeschlichen der voneinander abgeschrieben wurde, wikipedia ist in solchen sachen nicht unbedingt fehlerfrei
wir müssten evtl. ein etwas besseres original von typ 9 finden
oder bist du inzwischen irgendwie anders weiter gekommen
grus haribo
in diesem PDF eines artikels von jan 1978 wird auf s.42 unten im skizzen-rahmen auch geschrieben "das typ 9 impossible sei..." kann es sein das es nie jemand nachgeprüft hat???
https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/1979/0025570x.di021103.02p0247f.pdf
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Slash
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-10-27
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Wenn man sich an die im Wiki-Artikel beschriebene Konstruktionsanleitung hält, sollte es eigentlich klappen. Aus den Bildern allein erschießt sich die Konstruktion nicht.
"Bei der monohedralen Parkettierung fordert man Kongruenz unter den parkettierenden Kacheln, jedoch mit der Protokachel nur Ähnlichkeit. Abhängig von der Anzahl der Freiheitsgrade des Kacheltyps kann es unähnliche Protokacheln geben, die zum selben Kacheltyp gehören. Der Kacheltyp ist durch ein System von Beziehungen zwischen Winkeln einerseits und Seitenverhältnissen andererseits charakterisiert. Zu einem Kacheltyp kann es Parkettierungen geben, die sich in wesentlichen Eigenschaften unterscheiden.
Ein kongruentes Fünfeck ist durch sieben Bestimmungsstücke (7 unabhängige Parameter) bestimmt, ein ähnliches durch sechs. Bei ähnlichen Fünfecken sind Längenverhältnisse (von sich entsprechenden Seiten und Diagonalen) und sich entsprechende Winkel gleich. Hat man vier (Eck-)Winkel, dann ist der fünfte immer durch die Winkelsumme des Fünfecks von 540° bestimmt.
Im Folgenden werden die (Größen der) Winkel mit großen lateinischen Buchstaben A, B, C, D, E bezeichnet, sodass A+B+C+D+E = 540° ist. Die Orientierung ist standardmäßig die „mathematische“, also entgegen dem Uhrzeigersinn (obwohl es viele Typen gibt mit Parkettierungen, in denen beide Orientierungen vorkommen). (Die Längen von) Seiten, die in diesem Umlaufsinn auf eine Ecke zulaufen, werden üblicherweise mit dem entsprechenden kleinen Buchstaben bezeichnet, sodass bspw. b die Länge der Seite AB ist."
Die Geschlossenheit des Polygonzugs BCDEAB erfordert:
c cos(B) – d cos(B+C) + e cos(B+C+D) + a cos(–A) = b und
c sin(B) – d sin(B+C) + e sin(B+C+D) + a sin(–A) = 0 .
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haribo
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-28
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Rice, Typ 9
Diese Bedingungen sind angegeben:
b=c=d=e
2A+C=360°
D+2E=360°
Die zwei letzten werden oft auch so zusammengefasst dargestellt
2A+C=D+2E=360°
Ich weiß nicht wie viele Bedingungen damit beschrieben sind?
Ob das sechs oder schon sieben Bedingungen sind? Oder nur fünf? Erschlisst sich mir nicht
Sie sind für Typ 9 alle notwendig
Aber reichen zum konstruieren jedenfalls noch nicht aus
Welche mag noch fehlen?
haribo
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haribo
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-28
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Mit obigen Bedingungen hätte man zwei Freiheitsgrade... man könnte zB A und E (beide jeweils <180) frei wählen und dann würden sich C; D und damit B (Summe=540) ergeben
Und erhält meist kein geschlossenes polygon...
Ich nehme an typ9 hat nur einen freiheitsgrad?
Dann kann nicht A sowie E voneinander unabhängig sein
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haribo
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-28
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versuch der näherung
einen winkelsatz der den anforderungen genügt hab ich aus den bildern bei wikipedia herausgemessen und begradigt
das winkelset ABCDE ist dabei definiert durch D=70 und C=130
(aus D ergibt sich E; aus C A; und diese vier zusammen bestimmen B; darum schreib ich es in der reihenfolge DECAB)
die linke skizze zeigt das der polygon, welchen ich auf a als grundlinie drehe, nicht geschlossen ist, dieses set kann also so nicht funktionieren
gleichzeitig sei in dieser skizze die verwendete bezeichnung der ecken und linien angegeben...
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_rice-nr9-1.jpg
also erstmal noch grundlegender herangehen, nur mit D+2E=360 ergeben sich für E;D;C nur die möglichkeit der rechten skizze, (ich gehe dabei vorerst davon aus dass D positiv und konvex bleiben soll, also 90°
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haribo
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-28
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aus obiger rechter skizze wähle ich zum untersuchen die blaue linie aus, also D=100
und schiebe die zeichnung bei a auseinander um strecke c von beiden seiten aus zu konstruieren, a ist die einzige strecke die bei RICE-Nr.9 nicht gleichlang wie die anderen sein muss
in der hoffnung dabei varianten zu finden bei welchen c-links und c-rechts (blau und gelb) auf gleicher höhe liegen, also nur noch a angepasst (wieder zusammengeschoben) werden müsste um ein korrektes set zu erhalten
dem ist nicht so
D definiert wieder E; C setze ich in 20er schritten als variable ein und erhalte dadurch jedesmal die restlichen winkel A und B (s. tabelle)
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_rice-nr9-2.jpg
gezeichnet ergibt das jeweils c-links (blau) und c-rechts (gelb), die zueinander gehörenden c´s sind auch parallel, die tabelle ist also richtig, aber sie liegen nie auf gleicher höhe
am nächsten auf gleicher höhe liegen evtl die beiden c-80 die extra beschriftet sind
um auf gleicher höhe zu liegen müssten linien des gelben bündels die weisse linie schneiden, die weisse linie ist sozusagen die höhe von C auf a abgetragen, welche gemäss der skizze aus dem vorherigen beitrag als nur abhängig von winkel D betrachtet werden kann
ergebnis mit D=100 kann es gar keine lösung geben! ----
VERMUTUNG: D muss kleiner 90° sein und dann könnte es jeweils zwei lösungen für jedes D geben weil es dann ja vermutlich auch zwei gelbe geraden gibt welche auf der weissen linie enden, andrerseits darf ja A auch nicht links von E zu liegen kommen das wäre ja dann wieder kein konvexer polygon sondern ein verdrehter, also wird es doch nur jeweils eine lösung geben können
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haribo
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-28
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das gleiche mit D=80 ergibt die gewünschten schnittpunkte vom gelben büschel und der weissen linie
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_rice-nr9-3.jpg
damit wäre ein erstes set gefunden:
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_rice-nr9-4.jpg
a ist im verhältniss zu den anderen strecken angegeben
und die kachelung folgt gleich
damit müsste man, bei gutem willen, auch formelmässig einen zusammenhang zwischen D und C aufstellen können
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haribo
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-28
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https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_rice-nr9-5.jpg
spannende fragen: ob es bei kleineren D´s auch konkave lösungen geben kann? konkav bei "C" also dann mit A < 90°
???
gibt es ne lösung mit a = 1 ??? wie sähe die aus
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haribo
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-28
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https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_rice-nr9-6.jpg
es ist nicht auf konvex beschränkt!
hier a=1.03
möglicherweise könnte demnach D auch konkav sein... (auch oder sogar beide?)
jedenfals bei a=1 wird das ein hübscher 4/3er streichholzgraph, mein lieber
es gab doch mal irgendwo eine site bei der all diese fünfeck-kachelungen dynamisch animiert waren, gab es dort konkave lösungen?
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haribo
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-10-28
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https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8b/Pentagonal_tiling_type_9_animation.gif
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Slash
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-10-28
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@ haribo: Klasse gemacht und gedacht!
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
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haribo
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| Beitrag No.12, eingetragen 2021-10-28
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danke,
die animation liefert auch keinen konkav winkel bei D, aber schon den bei C
also haben wir nix wirklich neues hier entdeckt, aber einiges besser verstanden
hast du muße den formelmässigen zusammenhang zwischen D und C zu beschreiben?
haribo
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haribo
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-10-28
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unglaublich,
ein waschechter unendlicher streicholzgraph 4/3; a=1
der spitzenwinkel beträgt dabei genau 30°
würde auch als reifenprofil eine gute figur machen
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_rice-nr9-7.jpg
wenn man davon eine grössere fläche auslegt, und versucht im sinne von einheitsgraph ihn innen zu bewegen, wird der stabil sein oder intern beweglich?
haribo
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haribo
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| Beitrag No.14, eingetragen 2021-10-28
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durch die 30° kann man -faaast- auch diese parkettierung herstellen
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_rice-nr9-8.jpg
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-10-28
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\quoteon(2021-10-28 17:53 - haribo in Beitrag No. 12)
hast du muße den formelmässigen zusammenhang zwischen D und C zu beschreiben?
\quoteoff
Ne, ich hab gerade alles andere als Muße. Vielleicht nächste Woche wieder 😎.
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haribo
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| Beitrag No.16, eingetragen 2021-10-29
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