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Mathematik » Geometrie » geodätische Krümmung bestimmen
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Universität/Hochschule J geodätische Krümmung bestimmen
dvdlly
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  Themenstart: 2021-09-16

Hallo, Gegeben sei eine nach Bogenlänge parametrisierte Flächenkurve \(c(t) := (3 \cdot cos(\frac{t}{3}), 3 \cdot sin(\frac{t}{3}),\frac{\pi}{2})\) in eine reguläre Fläche, die durch die Parametrisierung \(x:(-\pi,2\pi) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3\) und \(x(u,v):= (cos(u)(2+sin(v)),sin(u)(2+sin(v),v)\) definiert ist. Die geodätische Krümmung von \(c\) soll berechnet werden. Dafür sucht man ja zuerst \(u(t), v(t)\), so dass \(x(u(t),v(t)) = c(t)\) gilt. Dann berechnet man \(x_u(u,v)\) und \(x_v(u,v)\) und setzt dann \(x_u(t) := x_u(u(t),v(t))\) und \(x_v(t):= x_v(u(t),v(t))\). Meine Frage: wenn man zuerst \(u(t)\) und \(v(t)\) in \(x(u,v)\) einsetzen würde und dann partiell ableitet, also \(x_u(u(t),v(t))\) und \(x_v(u(t),v(t))\) bestimmt, dann kommt da doch eine andere Kurve bei heraus wegen der Kettenregel oder nicht? Wieso setzt man also \(u(t)\) und \(v(t)\) erst nach dem partiellen Ableiten ein? Ich weiß, die Frage ist sehr elementar... Danke!

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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-18

Hallo dvdlly, die Kettenregel müsste man zur Berechnung von \(x_{\color{red}t}(u(t),v(t))\) anwenden. Bei der Berechnung von \(x_u(u,v)\) aus \(x(u,v)\) ist es ohne Bedeutung, ob das t schon mit dran steht oder nicht. Auch die partielle Ableitung von \(x(u(t),v(t))\) nach u ist nur \(x_u(u(t),v(t))\). Viele Grüße, Stefan

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dvdlly
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-26

Danke:)

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