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Mathematik » Topologie » Menge offen und/oder konvex?
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Universität/Hochschule Menge offen und/oder konvex?
MasterWizz
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  Themenstart: 2021-09-17

Hey Leute, ich habe hier eine Menge, von ich überzeugt bin, dass die konvex, aber nicht offen ist. Laut Lösung soll sie aber weder offen noch konvex sein, könnt ihr mir das erklären? \(M=\left\{\begin{pmatrix}r\cos(\varphi)\sin(\vartheta)\\r\sin(\varphi)\sin(\vartheta)\\r\cos(\vartheta)\end{pmatrix}:\ 0\leq r<1,\ 0<\varphi<2\pi,\ 0\leq\vartheta<\frac{\pi}{2}\right\}\) Offen ist die Menge ja nur deshalb nicht, weil der Randpunkt (0,0,1) zur Menge gehört, ohne ihn wäre die Menge offen. Aber warum soll eine Halbkugel nicht konvex sein? In dem Fall müssten sich ja 2 Punkte der Mengen finden lassen, deren Verbindungsgerade nicht vollständig in der Menge liegt. Welche 2 sollten das sein?

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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-17

\quoteon(2021-09-17 12:52 - MasterWizz im Themenstart) Offen ist die Menge ja nur deshalb nicht, weil der Randpunkt (0,0,1) zur Menge gehört \quoteoff Wegen $r<1$ gehört dieser Punkt nicht zur Menge. Ein Randpunkt ist aber $(0,0,0)$. Der Konvexität im Wege steht die Bedingung $0<\varphi<2\pi$. --zippy

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MasterWizz
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-17

Ja stimmt, jetzt erst seh ich es auch.. Vielen Dank! Das mit der Konvexität ist ja sogar richtig offensichtlich, weil eine ganze Fläche herausgeschnitten wird aus dem Körper. Kann es sein, dass (0,0,0) der einzige Randpunkt ist?

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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-17

\quoteon(2021-09-17 15:28 - MasterWizz in Beitrag No. 2) Kann es sein, dass (0,0,0) der einzige Randpunkt ist? \quoteoff Ja, das ist der einzige Randpunkt von $M$, der in $M$ liegt.

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