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Mathematik » Strukturen und Algebra » Normale Körpererweiterung
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Universität/Hochschule Normale Körpererweiterung
m_st_9797
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Dabei seit: 13.09.2019
Mitteilungen: 14
  Themenstart: 2021-09-17

Hallo alle, ich versuche, das folgende zu beweisen: Sei $k \subset K$ eine algebraische Körpererweiterung, dann ist: $k \subseteq K$ ist normal $\Leftrightarrow$ $K$ ist ein Zerfällungskörper einer Menge von Polynomen über $k$ Wir wählen $a_1, \ldots, a_m \in K$ mit $K=k[a_1, \ldots, a_m]$. Sei $p_i$ das Minimalpolynom von $a_i$ über $k$ und $p := \prod_{1 \leq i \leq m} p_i$. Dann ist $K$ ein Zerfällungskörper von $p$, da die $p_i$ über $K$ in Linearfaktoren zerfallen. Allerdings ist $K$ damit endlich erzeugt, wie könnte ich meinen Beweis ergänzen, sodass sich dieses Problem nicht stellt? Danke schonmal für die Hilfe.


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Creasy
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Wohnort: Bonn
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-18

Hey, Du hast die Menge mit dem Element p gewählt. Du hättest stattdessen auch die Menge Wählen können, die aus den p_i besteht. Und anstatt dieser Menge kannst du auch eine Menge mit unendlich vielen Elementen wählen, in dem du nicht ausgewählte Elemente a_i aus K betrachtest sondern einfach alle. Viele Grüße Creasy


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m_st_9797
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 14
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-18

Für jedes $a \in K$ sei $p$ das Minimalpolynom von $a$ über $k$. Dieses hat die Nullstelle $a$ und zerfällt somit über $K$ in Linearfaktoren. Also ist $K$ ein Zerfällungskörper von $p$. Also würde es so passen, oder?


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zippy
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Mitteilungen: 2957
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-18

\quoteon(2021-09-18 11:04 - m_st_9797 in Beitrag No. 2) Also ist $K$ ein Zerfällungskörper von $p$. \quoteoff Nein. Von so einem Zerfällungskörper wird nicht nur verlangt, dass $p$ in ihm in Linearfaktoren zerfällt, sondern auch, dass er der kleinste Körper mit dieser Eigenschaft ist (d.h., dass er von den Nullstellen von $p$ erzeugt wird). Creasy hat dir ja aber auch nicht geraten, ein bestimmtes $p$ zu betrachten, sondern die Menge aller Minimalpolynome. --zippy


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m_st_9797
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Mitteilungen: 14
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-18

Hallo zippy, danke fürs weiterhelfen, würde es dann so passen: Für jedes $a \in K$ besitzt $\textrm{Min}(a,k)$ die Nullstelle $a$ und zerfällt folglich über $K$ in Linearfaktoren. Also ist $K$ der Zerfällungskörper aller $\textrm{Min}(a,k)$ mit $a \in K$.


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