Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel
Mathematik » Stochastik und Statistik » Normalverteilte ZV mit normalverteiltem MW
Autor
Universität/Hochschule Normalverteilte ZV mit normalverteiltem MW
mathemufflon2
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.04.2021
Mitteilungen: 12
  Themenstart: 2021-09-20

Hallo zusammen, ich sitze vor einem Stochastik-Problem. Und zwar folgendes: Gegeben sei ein stochastischer Prozess \[X_0, X_1, X_2, ...\] wobei \(X_0 \) ~ \(N(0,1)\) und \(X_t | (X_0, ..., X_{t-1})\) ~ \(N(X_{t-1}, 1)\). Nun soll ich die Randverteilung von \(X_t\) für ein beliebiges \(t \) berechnen. Das ist ehrlich gesagt ein Schritt zu viel für mich - ich weiß, wie ich eine Marginalverteilung berechne, wenn ich eine gemeinsame Verteilung von ZV gegeben habe (quasi alle anderen Komponenten aufintegrieren). Wie mache ich das, wenn ich nur solche bedingten Verteilungen gegeben habe? Wäre um jeden Hinweis sehr dankbar. Eine Rechnung muss natürlich nicht sein, nur ein Ansatz wäre wirklich toll! Liebe Grüße🙂


   Profil
mathemufflon2
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.04.2021
Mitteilungen: 12
  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-20

Ein Ansatz von mir: Da \(X_1 | X_0 \) ~ \(N(0,1)\) und \(X_0\) ~ \(N(0,1)\), ist die Verteilung von \(X_1\) die Verteilung der Summe zweier unabhängiger \(N(0,1)\) Zufallsvariablen, also \(N(0,1+1)=N(0,2)\) -verteilt. Induktiv ergibt sich \(X_t\) ~ \(N(0,t+1)\). Stimmt das so?


   Profil
luis52
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 599
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-09-20

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2021-09-20 12:02 - mathemufflon2 in Beitrag No. 1) Ein Ansatz von mir: Da \(X_1 | X_0 \) ~ \(N(0,1)\) und \(X_0\) ~ \(N(0,1)\), ist die Verteilung von \(X_1\) die Verteilung der Summe zweier unabhängiger \(N(0,1)\) Zufallsvariablen, also \(N(0,1+1)=N(0,2)\) -verteilt. Induktiv ergibt sich \(X_t\) ~ \(N(0,t+1)\). Stimmt das so? \quoteoff Moin, wieso ist $X_1$ eine Summe unabhaengiger Zufallsvariablen. Beispielsweise ist von Unabhaengigkeit nicht die Rede in der Voraussetzung, oder irre ich mich? Wenn ich die alte Bauernregel \[f(x_1\mid x_0)=\dfrac{f(x_1,x_0)}{f(x_0)}\iff f(x_1,x_0)=\varphi(x_1-x_0)\varphi(x_0)\] nutze, so gelange ich zu einer Darstellung, die zeigt, dass $X_0$ und $X_1$ *nicht* unabhaengig sind ...\(\endgroup\)


   Profil
mathemufflon2
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.04.2021
Mitteilungen: 12
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-20

Das sollte natürlich heißen: "Da \(X_1|X_0\) ~ \(N(X_0,1)\) und \(X_0\) ~ \(N(0,1)\), ist [...] ." Stimmt mein Schluss denn dann nicht?


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2674
  Beitrag No.4, eingetragen 2021-09-20

\quoteon(2021-09-20 13:56 - luis52 in Beitrag No. 2) so gelange ich zu einer Darstellung, die zeigt, dass $X_0$ und $X_1$ *nicht* unabhaengig sind \quoteoff Dass $X_0$ und $X_1$ unabhängig sind, wurde ja auch nicht behauptet, sondern dass $X_1$ die Summe von zwei unabhängigen $N(0,1)$-verteilten Zufallsvariablen ist. Und diese zwei Zufallsvariablen sind $X_1-X_0$ und $X_0$. --zippy [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


   Profil
luis52
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 599
  Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-20

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2021-09-20 14:29 - mathemufflon2 in Beitrag No. 3) Das sollte natürlich heißen: "Da \(X_1|X_0\) ~ \(N(X_0,1)\) und \(X_0\) ~ \(N(0,1)\), ist [...] ." Stimmt mein Schluss denn dann nicht? \quoteoff Dein Schluss ist anscheinend korrekt, aber die Begruendung nicht. vg Luis [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]\(\endgroup\)


   Profil
mathemufflon2
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.04.2021
Mitteilungen: 12
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-20

Ja, das stimmt. Da hatte ich micht etwas zu kurz gehalten. So wie zippy es schreibt, meinte ich es: \(X_0\) und der Zuwachs sind unabhängig und dementsprechend lässt sich \(X_1\) als Summe unabhängiger normalverteilter ZV schreiben. Induktiv ergibt sich der Rest. Danke Euch beiden!


   Profil
luis52
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 599
  Beitrag No.7, eingetragen 2021-09-20

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2021-09-20 14:35 - zippy in Beitrag No. 4) Dass $X_0$ und $X_1$ unabhängig sind, wurde ja auch nicht behauptet, sondern dass $X_1$ die Summe von zwei unabhängigen $N(0,1)$-verteilten Zufallsvariablen ist. Und diese zwei Zufallsvariablen sind $X_1-X_0$ und $X_0$. --zippy \quoteoff Okay, da habe ich nicht genau genug gelesen. vg Luis [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]\(\endgroup\)


   Profil
mathemufflon2
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.04.2021
Mitteilungen: 12
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-21

Leider habe ich jetzt doch eine Frage zu meinem eigenen Lösungsansatz: Und zwar geht es nun um eine verwandte Aufgabe, bei der aber meiner Meinung nach das Ganze nicht mehr so recht klappt: Gegeben sei ein stochastischer Prozess \(X_0, X_1, X_2,...\) durch die folgende Vorschrift: \(X_t | (X_{t-1},...,X_0)\) ~ \(N(\rho X_{t-1}, 1 - \rho^2)\) und \(X_0\) ~ \(N(100, 1)\). Ich soll nun die Verteilung von \(X_t\) berechnen. Mit dem obigen Ansatz würde das dann so aussehen: \(X_1 = \rho X_0 + (X_1 - \rho X_0) =: \rho X_0 + Z\), wobei die beiden Summanden stochastisch unabhängig sind. Da ich durch die Iterationsvorschrift weiß, dass der Erwartungswert gegeben \(X_0\) gleich \(\rho X_0\) ist, ist der Erwartungswert vom Inkrement \(Z\) also gleich \(0\). Die Varianz von \(X_1\) ist - gegeben \(X_0\) - aber gleich \(1-\rho^2\), also ist \(Z\)~\(N(0, 1-\rho^2\)). Damit ergibt sich: \(X_1\)~\(N(100 \rho, \rho^2) + N(0, 1-\rho^2) = N(100 \rho, 1)\). Induktiv so weitermachen ergibt: \(X_t\)~\(N(100 \rho^t, 1)\). Ich habe allerdings nachgerechnet, dass die stationäre Verteilung dieses Prozesses gleich \(N(0, 1 - \rho^2)\) ist, was sich auch durch numerische Simulationen gedeckt hat. Damit kann ja dann aber meine berechnete Verteilung für \(X_t\) nicht stimmen, denn da ist ja die Varianz konstant bei \(1\) und nähert sich für \(t \to \infty\) nicht \(1-\rho^2\) an. Kann mir jemand weiterhelfen, wo hier mein Fehler ist?


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2674
  Beitrag No.9, eingetragen 2021-09-21

\quoteon(2021-09-21 19:07 - mathemufflon2 in Beitrag No. 8) Ich habe allerdings nachgerechnet, dass die stationäre Verteilung dieses Prozesses gleich \(N(0, 1 - \rho^2)\) ist, was sich auch durch numerische Simulationen gedeckt hat. \quoteoff Für mich sieht das eher nach $N(0,1)$ aus: \sourceon R > r <- .8 > f <- function (t) if (t==0) rnorm(1, 100, 1) else rnorm(1, r*f(t-1), sqrt(1-r^2)) > x <- replicate(1e5, f(100)) > c(mean(x), sd(x)) [1] 0.0004472558 0.9945484610 \sourceoff


   Profil
mathemufflon2
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.04.2021
Mitteilungen: 12
  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-22

Du hast natürlich vollkommen recht - da ist mir sowohl bei der Berechnung der stationären Verteilung als auch beim Simulieren ein Fehler unterlaufen. Noch einmal vielen Dank!


   Profil
mathemufflon2
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.04.2021
Mitteilungen: 12
  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-22

... wie ich gerade bemerkt habe, sogar zweimal exakt der gleiche: bin jeweils mit der Standardabweichung und der Varianz durcheinander gekommen, wie ärgerlich! 😄


   Profil
mathemufflon2 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]