Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von matroid
Mathematik » Numerik & Optimierung » Newton-Verfahren und mehrfache Nullstellen
Autor
Universität/Hochschule J Newton-Verfahren und mehrfache Nullstellen
Radix
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6278
Wohnort: Wien
  Themenstart: 2021-09-20

Hallo! Zunächst wird in einem Satz gezeigt, dass das Newton-Verfahren gegen eine einfache Nullstelle konvergiert. Dann kommt ein Abschnitt darüber, was sich bei mehrfachen Nullstellen ändert: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/3460_newton.JPG Das konnte ich fast alles mit großer Mühe nachvollziehen, aber die letzte Bemerkung verstehe ich leider nicht. Warum folgt aus f^(p)(z)!=0 die lokale Beschränktheit dieses Quotienten? Danke Radix


   Profil
semasch
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 230
Wohnort: Wien
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-21

Moin Radix, aus der angegebenen Taylorentwicklung von $f$ folgt sofort, dass $x \mapsto R(z;x)$ auf $[a,b] \setminus \{z\}$ ($p+1$-mal) stetig differenzierbar ist. Mit der Lagrangedarstellung des Restglieds gilt dabei für ein $x_1(z;x) \in [\min(z,x),\max(z,x)]$ \[R(z;x) = \frac{1}{p!} f^{(p)}(x_1(z;x)).\] Somit ist $x \mapsto R(z;x)$ auf ganz $[a,b]$ stetig und es gilt \[R(z;z) = \frac{1}{p!} f^{(p)}(z) \neq 0. \tag{1}\] Macht man nun analog eine Taylorentwicklung für $f' \in C^p([a,b])$ um den Entwicklungspunkt $z$, so erhält man \[f'(x) = \frac{f^{(p)}(z)}{(p-1)!} (x-z)^{p-1} + (x-z)^p S(z;x).\] Dabei gilt für ein $x_2(z;x) \in [\min(z,x),\max(z,x)]$ \[S(z;x) = \frac{1}{p!} (f')^{(p)}(x_2(z;x)) = \frac{1}{p!} f^{(p+1)}(x_2(z;x)).\] Man überlegt sich analog zu oben, dass die Funktion $x \mapsto S(z;x)$ auf $[a,b] \setminus \{z\}$ ($p$-mal) stetig differenzierbar und auf $[a,b]$ stetig ist. Dabei gilt \[S(z;z) = \frac{1}{p!} f^{(p+1)}(z).\] Für $x \neq z$ folgt durch Ableiten und Vergleichen \[\partial_x R(z;x) = S(z;x) - \frac{1}{(p-1)!} \frac{f^{(p)}(x_1(z;x))-f^{(p)}(z)}{x-z}.\] Daraus kannst du \[\limsup_{x \to z} |\partial_x R(z;x)| < \infty \tag{2}\] folgern. Insgesamt folgt aus $(1)$ und $(2)$, dass der infrage stehende Quotient lokal bei $z$ beschränkt ist. LG, semasch


   Profil
Radix
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6278
Wohnort: Wien
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-21

[Sarkasmus ein] Was? So einfach? Warum bin ich da nicht selbst draufgekommen? [Sarkasmus aus] Vielen Dank Radix


   Profil
Radix hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Radix hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]