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Analysis » Stetigkeit » Stetigkeit von f(x,y)
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Universität/Hochschule Stetigkeit von f(x,y)
MasterWizz
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  Themenstart: 2021-09-21

Hey Leute, es geht um einen bestimmten Funktionstypen, von dem die Stetigkeit in Abhängigkeit von Parametern gesucht ist. Wisst ihr dazu mehr? Gegeben sei \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) durch \(f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^\alpha\cdot y^\beta}{x^\gamma+y^\delta} & (x,y)\neq(0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{cases}\), wobei \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{N}_{\geq1}\) Können wir dann irgendwelche allgemeinen Aussagen über die Stetigkeit in \((0,0)\) treffen in Abhängigkeit von den Parametern \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\)?


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LetsLearnTogether
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-21

Hallo, zu erst einmal ist ja klar, dass (wie immer) nur die Stetigkeit im Ursprung zu prüfen ist. Dazu könntest du erstmal prüfen was passiert, wenn $x=y$ ist, und ob es da bestimmte Bedingungen gibt, damit Stetigkeit vorliegen kann. Das macht es vermutlich einfacher.


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MasterWizz
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-21

Das ist ein guter Anfang. Für \(x=y\) ergibt sich nach Ausklammern im Nenner, dass die Funktion unstetig ist, falls \(\alpha+\beta\leq\gamma\) bzw. \(\alpha+\beta\leq\delta\). Also zusammengefasst liefert uns das schon mal die Erkenntnis, dass \(f(x,y)\) unstetig ist, falls \(\alpha+\beta\leq\text{min}(\gamma,\delta)\). Welche weiteren Strategien kannst du empfehlen, um konkretere Aussagen zu bekommen?


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-21

Hallo, das sieht doch schon einmal gut aus. Vielleicht könnte man etwas mit Polarkoordinaten und den entsprechenden Reihenentwicklungen von Sinus und Kosinus probieren? Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' in Forum 'Stetigkeit' von Diophant]


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MasterWizz
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-21

Ich möchte kurz sagen, dass es mich echt glücklich macht, dass wir gemeinsam daran arbeiten. Vielen Dank dafür :* Zuerst mal hab ich gerade folgendes probiert: Für \(y=x^{\frac{\gamma}{\delta}}\) erhalte ich die Aussage, wir auf Unstetigkeit schließen können, falls \(\frac{\alpha}{\gamma}\leq 1-\frac{\beta}{\delta}\) und demzufolge auch \(\frac{\beta}{\delta}\leq1-\frac{\alpha}{\gamma}\). Meinst du nach dem Einsetzen von Polarkoordinaten auch die Verwendung der Reduktionsformeln für \(\cos^n(\varphi)\) und \(\sin^n(\varphi)\)? Ansonsten würden die Potenzreihen ja alle noch die Exponenten \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) haben und da wüsste ich nicht weiter.


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, das mit den Polarkoordinaten war ehrlich gesagt ein wenig unbedachtes Brainstorming von meiner Seite aus. Nachdem ich es mit Stift und Papier ausprobiert hatte, habe ich es auch schnell wieder aufgegeben... Neue Idee: nimm o.B.d.A \(\gamma\le\delta\) an und schätze damit den Betrag des Terms nach oben so ab, dass im Fall \((x,y)\to(0,0)\) die obere Schranke gegen Null geht (wenn die vier Exponenten die von dir genannte Bedingung erfüllen). Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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MasterWizz
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-21

Die Idee mit dem Betrag gefällt mir auch gut, das heißt aus \(\left|\dfrac{x^\alpha y^\beta}{x^\gamma + y^\delta}\right|\leq \left|\dfrac{x^\alpha y^\beta}{x^\gamma}\right| = \left|x^{\alpha-\gamma}y^\beta\right|\underset{(x,y)\rightarrow(0,0)}{\longrightarrow} 0\) und auch \(\left|\dfrac{x^\alpha y^\beta}{x^\gamma + y^\delta}\right|\leq \left|\dfrac{x^\alpha y^\beta}{y^\delta}\right| = \left|x^{\alpha}y^{\beta-\delta}\right|\underset{(x,y)\rightarrow(0,0)}{\longrightarrow} 0\) können wir auf Stetigkeit schließen, falls \(\alpha\geq\gamma\) oder \(\beta\geq\delta\). Aber ich hab das Gefühl, dass wir damit nur an der Oberfläche kratzen. Das sind schon starke Bedingungen, aber wie können wir einen beliebigen Fall auswerten?


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-09-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, ganz so einfach ist es nicht. Du darfst nicht vergessen, dass die Exponenten aus \(\IN^{+}\) sind und insbesondere die beiden Summanden im Nenner theoretisch auch negativ sein können. Dann klappt aber das Weglassen eines Summanden so nicht mehr. Denn du möchtest den Nenner ja dadurch verkleinern. Ich würde mal im Nenner den Summanden mit dem kleineren Exponenten ausklammern und im Zähler mit dem Maximum aus den Beträgen der beiden Faktoren arbeiten... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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MasterWizz
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-21

Ok das Problem verstehe ich. Durch das Ausklammern der kleineren Potenz ergeben sich dann allerdings trotzdem die beiden Aussagen für Stetigkeit, oder? Bringt uns dann das Abschätzen des Maximums der Beträge der Faktoren dann noch weitere Erkenntnisse? EDIT: Oder besser gesagt, wenn \(\gamma\leq\text{min}(\alpha,\delta)\) oder auch wenn \(\delta\leq\text{min}(\beta,\gamma)\), dann können wit definitiv auf Stetigkeit schließen.


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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-09-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, hm. Ich fürchte jetzt doch, dass ich auch mit meinem zweiten Vorschlag falsch lag. Das war einfach zu verführerisch. Aber egal wie ich es anstelle: es lässt sich offensichtlich jedesmal eine Folge \((x_n,y_n,)^T\) finden, so dass diese obere Schranke dann doch nicht das macht, was sie sollte. Die Abschätzung, an die ich dachte, ist also zu grob. Dann wird man es wohl ganz klassisch mit dem \(\epsilon\)-\(\delta\)-Kriterium angehen müssen. Das wird wohl etwas 'technisch' werden, fürchte ich... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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MasterWizz
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-21

Wieso lässt sich das Problem eigentlich nicht allgemein mit Polarkoordinaten lösen, wobei wir einfach den Radius gegen 0 laufen lassen? Nähern wir uns damit nicht von jeder nur möglichen Richtung aus dem Nullpunkt an? Aber scheinbar funktioniert das aus irgendeinem Grund nicht immer. Z.B. ist die Funktion für \(\alpha=1,\ \beta=2,\ \gamma=2,\ \delta=4\) unstetig, obwohl beim Einsetzen von Polarkoordinaten mit Grenzübergang Radius gegen Null plötzlich der Funktionswert 0 rauskommt, also mir Stetigkeit vorgaukelt.


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Kuestenkind
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-09-21

Huhu MasterWizz, \quoteon(2021-09-21 20:11 - MasterWizz in Beitrag No. 10) [...]also mir Stetigkeit vorgaukelt. \quoteoff da wird nichts vorgegaukelt - du hast es nur nicht richtig verstanden. Siehe hier. Zu deiner ursprünglichen Frage: Dein Definitionsbereich macht keinen Sinn immer. Das wurde ja bereits nun auch hier festgestellt. Gruß, Küstenkind


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Wally
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-09-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, als erstes kann man sich auf gerade Exponenten im Nenner beschränken, weil sonst die Funktion in jeder Umgebung des Nullpunkts undefiniert ist. Viele Grüße Wally P.S. Spannender ist \(f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^\alpha\cdot y^\beta}{|x|^\gamma+|y|^\delta} & (x,y)\neq(0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{cases}\)\(\endgroup\)


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MasterWizz
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-21

Super vielen Dank, dann hab ich zumindest verstanden, was die Gefahr bei der Verwendung von Polarkoordinaten ist und wann wir sie wirklich nutzen können! Beispiel: \(\alpha=2,\ \beta=2,\ \gamma=4,\ \delta=2\) Aus dem Definitionsbereich sind hier natürlich alle Punkte ausgeschlossen, für die \(y=-x\) gilt. Außer (0,0), dort soll die Funktion den Wert 0 annehmen. EDIT: Oder wie Wally hinzugefügt hat: Mit Beträgen im Nenner :) Allerdings ist mir noch immer nicht klar, wie ich bei beliebig gewählten Parametern eine eindeutige Aussage über die Stetigkeit treffen kann. Klar haben wir jetzt ein paar Regeln herausgefunden. Doch was machen wir, wenn die mal nicht erfüllt sind? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


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