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Mathematik » Strukturen und Algebra » Ganzer Abschluss endlich erzeugter Modul
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Universität/Hochschule Ganzer Abschluss endlich erzeugter Modul
Seligman
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  Themenstart: 2021-09-23

Guten Abend, ich habe eine Frage zum Nachweis von der Wikipedia-Behauptung (gefunden hier): Let $A$ be a noetherian integrally closed domain with field of fractions $K$. If $L/K$ is a finite separable extension, then the integral closure $B$ of $A$ in $L$ is a finitely generated A-module.[24] This is easy and standard (uses the fact that the trace defines a non-degenerate bilinear form.) Als Referenz [24] ist Introduction to Commutative Algebra, Atiyah–MacDonald 1969, Ch 5. Proposition 5.17 angegeben: Proposition 5.17. Let $A$ be an integrally closed domain, Kits field of fractions, $L$ a finite separable algebraic extension of $K$, $B$ the integral closure of $A$ in $L$. Then there exists a basis $ v_1,..., v_n $ of $L$ over $K$ such that $B \subset \sum^n_{j=1} Av_j$. Den Beweis der proposition im Buch verstehe ich auch, aber ich verstehe nicht wieso es die Behauptung oben impliziert. Klar ist $\sum^n_{j=1} Av_j $ nach Konstruktion endlicher $A$-modul, aber impliziert das, dass dann der Untermodul $B \subset \sum^n_{j=1} Av_j$ auch endlich über $A$ sein muss? Allgemeiner: Sei $A$ ein kommutativer Ring mit Eins, $M$ ein endlicher $A$-modul und $N \subset M$ ein Untermodul von $M$. Ist dann $N$ ebenfalls endlicher $A$-modul und wenn ja, wieso? Gilt das allgemein ober müssen tatsächlich extra Voraussetzungen an Ring $A$ gestellt werden? (so wie $A$ Noethersch, ganzabgeschlossen?)


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) \quoteon(2021-09-23 20:15 - Seligman im Themenstart) Allgemeiner: Sei $A$ ein kommutativer Ring mit Eins, $M$ ein endlicher $A$-modul und $N \subset M$ ein Untermodul von $M$. Ist dann $N$ ebenfalls endlicher $A$-modul und wenn ja, wieso? \quoteoff Allgemein gilt die Aussage nicht. Sie gilt, wenn $A$ Noethersch ist. Folgende Endlichkeitseigenschaften gelten für Noethersche Objekte: - Wenn $A$ ein Noetherscher Ring ist, dann ist $M \in \mathbf{Mod}_A$ genau dann endlich erzeugt wenn $M$ Noethersch ist. - Untermoduln Noetherscher Moduln sind Noethersch.\(\endgroup\)


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Seligman
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-23

Ich danke dir! Also ist hier ausschließlich die Eigenschaft "Noethersch" für $A$ entscheidend, und Nullteilerfreiheit (engl domain) und Ganzabgeschlossenheit spielen keine Rolle?


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-24

In der zitierten Aussage schon, ja. Integrität wird verwendet, um den Quotientenkörper zu konstruieren und Ganzabgeschlossenheit wird bei Proposition 5.17 benutzt.


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