Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Bestimme alle Primzahlen, sodass die Gruppe G abelsch ist
Autor
Universität/Hochschule J Bestimme alle Primzahlen, sodass die Gruppe G abelsch ist
math_
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.04.2020
Mitteilungen: 17
  Themenstart: 2021-09-26

Ich knabbere aktuell an folgender Aufgabe: Es sei \(p\) eine Primzahl und \(\mathbb{F}_p\) der endliche Körper mit \(p\) Elementen. Betrachte die Gruppe \[G = \left\{\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} | a \in \mathbb{F}_p^{\times}, b \in \mathbb{F}_p\right\} \subseteq \text{GL}(2, \mathbb{F}_p).\] Ich möchte alle Primzahlen \(p\) bestimmen, sodass \(G\) abelsch ist bzw. alle Primzahlen \(p\) derart, dass \(G\) isomorph zu einer symmetrischen Gruppe \(S_n\) ist. Beginnend mit dem ersten Teil zu den abelschen Gruppen fällt mir leider keine gute Lösungsstrategie ein. Zunächst einmal ist mir aufgefallen, dass \(G\) die Ordnung \(p\cdot(p-1)\) hat. Für \(p=2\) ist die Gruppe also schon einmal sicher abelsch. Für \(p=3\) hat die Gruppe die Ordnung \(6\) und anhand von ein paar einfachen Beispielen sieht man auch schnell, dass die Gruppe nicht abelsch ist und deshalb für \(p=3\) isomorph zur \(S_3\) sein muss. Das Ausprobieren einfacher Beispiele hat mir leider nicht geholfen eine allgemeine Lösungsstrategie zu erkennen. Ich habe es dann mit dem Homomorphiesatz probiert, in der Hoffnung, dass ich einen Homomorphismus mit trivialen Kern konstruieren kann, der mir so hilft eine Aussage über \(G\) zu treffen. Das hat leider nicht funktioniert. Zuletzt habe ich es auch mit der Brute-Force-Methode probiert und zwei beliebige Matrizen aus \(G\) herausgepickt und notiert, was es bedeuten muss, dass diese kommutieren: \[\begin{pmatrix} a_1&b_1 \\0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_2& b_2\\ 0& 1\end{pmatrix} \overset{!}{=} \begin{pmatrix} a_2&b_2 \\0 &1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a_1&b_1 \\ 0&1\end{pmatrix}\] Man findet die Bedingung \(a_1\cdot b_2 + b_1 = a_2 \cdot b_1 + b_2\). Hier sehe ich leider auch nicht, wie man weiter argumentieren könnte. Hat jemand von euch eine Idee, wie man die Aufgabe lösen könnte? Ich wäre auch für einen Hinweis dankbar. Viele Grüße math_


   Profil
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3299
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-26

Was du Brute-Force nennst, nenne ich elementar :-) Die Seiten der Gleichung sehen ja völlig verschieden aus, wieso sollte man überhaupt annehmen, dass diese gleich sein sollen? Nun, für kleine $p$ gibt es ja nur sehr wenige mögliche Belegungen, für $p=2$ ist ja z.B. zwingend $a=1$, vielleicht ergibt sich da tatsächlich Gleichheit. Für große $p$ sollten sich dagegen mühelos Gegenbeispiele konstruieren lassen. Und wenn man einmal ein Gegenbeispiel hat, sollte dieses (vielleicht muss man dazu vermeiden, sich ungeschickt anzustellen) auch für alle größeren $p$ gelten. Man muss also nur ein Gegenbeispiel für ein möglichst kleines $p$ finden und hat dann für jede Primzahl eine Aussage gemacht.


   Profil
Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 571
Wohnort: Bonn
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-09-27 09:41

Für den zweiten Teil kannst du erstmal untersuchen, wie n gewählt werden müsste damit Sn überhaupt die gleiche kardinalität hat


   Profil
math_
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.04.2020
Mitteilungen: 17
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-27 22:17

Ich denke, dass mir der zweite Teil zur Isomorphie zu einer symmetrischen Gruppe \(S_n\) klar ist. Die Ordnung von \(G\) ist \(p\cdot(p-1)\), die Ordnung von \(S_n\) ist \(n!\). Wäre \(G\) zu einer Gruppe \(S_n\) isomorph, so müssten die Kardinalitäten von \(G\) und \(S_n\) übereinstimmen. Das ist aber nur für \(p=3\) und \(p=2\) möglich. Dass die Gruppe für \(p=3\) tatsächlich isomorph zur \(S_3\) ist, habe ich ja schon in der Frage kurz skizziert. Für größere Primzahlen klappt das nicht, weil insbesondere ja \(p\) ein Teiler von \(n!\) sein müsste. Wegen der Primalität brauchen wir in \(n!\) also einen Faktor \(p\). Nun ist aber \(p!\) > \(p\cdot(p-1)\) für Primzahlen \(p\) größer als \(3\) 😃. Hinsichtlich der Frage, wann \(G\) abelsch ist, bin ich leider noch immer nicht weitergekommen. Vielleicht stelle ich mich hier doch etwas ungeschickt an 😐...


   Profil
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3299
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.4, eingetragen 2021-09-27 22:54

\quoteon(2021-09-27 22:17 - math_ in Beitrag No. 3) Hinsichtlich der Frage, wann \(G\) abelsch ist, bin ich leider noch immer nicht weitergekommen. Vielleicht stelle ich mich hier doch etwas ungeschickt an 😐... \quoteoff Du hattest ja schon herausgefunden, dass die Gruppe für ein $p$ genau dann abelsch ist, wenn die Gleichung $ad+b = bc+d$ für alle $a,c\in\IF_p^\times$, $b,d\in\IF_p$ erfüllt ist. Untersuche das mal konkret für $p=2$ und $p=3$. Da gibt es ja nicht so viele mögliche Körperelemente zum Einsetzen.


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5771
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-27 23:29

Man muss keine random Werte einsetzen. Es ist hier unter anderem deshalb besser, von $\IF_p$ zu abstrahieren. Sei $K$ irgendein Körper. Betrachte die Untergruppe von $\mathrm{GL}_2(K)$ die aus den Matrizen der Form $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ mit $a \in K^{\times}$, $b \in K$ besteht. Diese ist genau dann abelsch, wenn $ad+b = bc + d$ $(\star)$ für alle $a,c \in K^{\times}$ und $b,d \in K$ gilt. Die Gleichung würde man jetzt gerne zwecks Vereinfachung zum Beispiel nach $a$ auflösen, wofür eine Fallunterscheidung nötig ist nach $d=0$ und $d \neq 0$. Für $d=0$ haben wir als Bedingung stehen: $b=bc$ für alle $b \in K$, $c \in K^{\times}$. Für $b=0$ gilt die Gleichung sowieso, und andernfalls bedeutet sie $1=c$. Es muss also $K^{\times}$ die triviale Gruppe sein, also $K=\IF_2$. Umgekehrt: Wenn $K^{\times}$ trivial ist, gilt $a=c=1$ und daher offenbar $(\star)$. Es gibt hier einen noch konzeptionellen Zugang. Man erkennt, dass die Gruppe das semidirekte Produkt von $(K^{\times},\cdot)$ mit $(K,+)$ ist bezüglich der kanonischen Wirkung via Multiplikation. Ein semidirektes Produkt ist genau dann abelsch, wenn die beiden Faktoren abelsch sind (sind sie) und die Wirkung trivial ist. Dass die Wirkung trivial ist, bedeutet gerade $b=bc$ für alle $b \in K$, $c \in K^{\times}$, also wie oben bemerkt $K^{\times}=\{1\}$.


   Profil
math_
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.04.2020
Mitteilungen: 17
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-28 08:15

Danke euch beiden! Jetzt ist auch bei mir der Groschen gefallen. Ich habe es mir an einem konkreten Beispiel für \(p=3\) überlegt: \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.\] Diese beiden Matrizen kommutieren offenbar nicht. Das Beispiel kann man dann auch für alle weiteren Primzahlen \(p>3\) verwenden, wobei die entsprechenden Einträge in der ersten Zeile und der zweiten Spalte dann einmal \(3\) und \(4\) lauten, wenn wir nicht gerade in \(\mathbb{F}_3\) sind. In jedem Fall also nicht gleich.


   Profil
math_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
math_ hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]