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Universität/Hochschule Für welche Funktionen konvergiert Folge der Ableitungen?
traveller
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  Themenstart: 2021-09-26

Hallo, Kann man die glatten Funktionen, für welche die Folge der Ableitungen $$\lim_{n\rightarrow\infty}f^{(n)}(x)=g(x)$$ konvergiert, irgendwie klassifizieren? Spontan fallen mir gerade mal die Polynome mit $g(x)\equiv 0$ und natürlich die Exponentialfunktion mit $g(x)=e^x$ ein, sowie Summen der beiden. EDIT: Weiteres Beispiel: $f(x)=\sin(0.5\cdot x)$ Das heisst, solange ich gleichmässige Konvergenz fordere. Punktweise konvergiert auch etwa die Folge zu $f(x)=2^x$ ebenfalls zu $g(x)\equiv 0$. Gibt es ausser $e^x$ (und natürlich Summen davon mit etwa Polynomen) noch andere Funktionen, bei denen dies konvergiert, aber nicht zur Nullfunktion?


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sonnenschein96
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-27

Hallo traveller, ich kann Deine Frage spontan leider nicht umfassend beantworten, aber hier mal ein paar Gedanken, um da etwas Systematik hineinzubringen: Zu \(g\): Da mit \(f^{(n)}\to g\) lokal gleichmäßig auch \((f^{(n)})'=f^{(n+1)}\to g\) lokal gleichmäßig gilt, folgt mit der Ableitung der Grenzfunktion \(g=g'\), also \(g(x)=Ae^x\) für ein \(A\in\mathbb{R}\). Die möglichen Grenzwerte sind also ziemlich limitiert. Gibt es \(m,n\geq0\) mit \(m


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sonnenschein96
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-09-27

Mir ist noch aufgefallen, dass ein solches \(h\) analytisch sein muss, siehe hier. Du kannst wohl auch ein \(\varphi\in C_c^\infty(-1,1)\) wählen (Testfunktion) und dann \(f(x):=\int_{\mathbb{R}}\varphi(y)e^{-ixy}\,dy\) definieren (Fourier-Transformation). Bekanntlich ist dann \(f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})\) (Schwartz-Raum) mit \[f^{(n)}(x)=\int_{\mathbb{R}}\varphi(y)(-iy)^ne^{-ixy}\,dy=\int_{-1}^1\varphi(y)(-iy)^ne^{-ixy}\,dy.\] Es folgt \(|f^{(n)}(x)|\leq\int_{-1}^1|\varphi(y)||y|^n\,dy\) also \[\|f^{(n)}\|_\infty\leq\int_{-1}^1|\varphi(y)||y|^n\,dy \leq\|\varphi\|_\infty\int_{-1}^1|y|^n\,dy=\frac{2\|\varphi\|_\infty}{n+1}\to0.\] Auf diese Art bekommst Du neue Funktionen \(f\), denn unsere bisherigen Beispiele der Form \(e^{\lambda x}, \sin(\lambda x), P(x)\) sind alle nicht im Schwartz-Raum enthalten (außer der Nullfunktion). Allerdings wird man diese neuen Fuktionen wohl nicht explizit durch elementare Funktionen darstellen können. Ich würde mich freuen, wenn auch noch andere Leute ihre Ideen zu dieser Frage äußern würden.


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sonnenschein96
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-27

Mit \(f(x)=f(x)-Ae^x+Ae^x=:g(x)+Ae^x\) gilt, dass \(f^{(n)}(x)=g^{(n)}(x)+Ae^x\), d.h. aus \(f^{(n)}\to Ae^x\) folgt \(g^{(n)}\to0\). Ist umgekehrt \(g\) eine Funktion mit \(g^{(n)}\to0\) und \(f(x):=g(x)+Ae^x\), so gilt \(f^{(n)}=g^{(n)}+Ae^x\to Ae^x\). Die Funktionen \(f\) mit \(f^{(n)}\to Ae^x\) sind also genau von der Form \(f=g+Ae^x\) mit \(g^{(n)}\to0\), d.h. es reicht zu schauen, für welche Funktionen \(g\) gilt, dass \(g^{(n)}\to0\). Weiter muss das \(g\) analytisch sein, siehe voriger Beitrag. Hat man eine Folge \((a_k)\) in \(\mathbb{R}\) mit \(k!a_k\to0\) und definiert \(g(x):=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k\), so gilt \[g^{(n)}(x)=\sum_{k=n}^\infty a_kk(k-1)\cdots(k-n+1)x^{k-n}=\sum_{j=0}^\infty\frac{a_{j+n}(j+n)!}{j!}x^j.\] Dies sollte nun nach Lebesgue lokal gleichmäßig gegen \(0\) gehen.


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semasch
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-09-27

Moin zusammen, interessante Frage @traveller und schöne Lösung @sonnenschein96! Mir fiele im Anschluss an Beitrag #3 noch ein, dass $g^{(n)} \to 0$ lokal gleichmäßig noch etwas elementarer über die Abschätzung \[|g^{(n)}(x)| \le \sup_{k \ge n} |k! \, a_k| \, e^{|x|}\] eingesehen werden kann. Außerdem folgt aus $g^{(n)} \to 0$ lokal gleichmäßig insbesondere \[|n! \, a_n| = |g^{(n)}(0)| \to 0.\] Die möglichen Funktionen $g$ sind also genau die mit \[g(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_k x^k \quad \text{und} \quad a_k = o\left(\frac{1}{k!}\right).\] LG, semasch


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sonnenschein96
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-27

\quoteon(2021-09-27 21:35 - semasch in Beitrag No. 4) Außerdem folgt aus $g^{(n)} \to 0$ lokal gleichmäßig insbesondere \[|n! \, a_n| = |g^{(n)}(0)| \to 0.\] \quoteoff Ja stimmt, dann sollte die Lösung des gesamten Problems also zusammengefasst denke ich wie folgt aussehen: Für \(f\in C^\infty(\mathbb{R})\) gibt es genau dann ein \(h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) mit \(f^{(n)}\to h\) lokal gleichmäßig, wenn es ein \(A\in\mathbb{R}\) und eine Folge \((a_k)\) in \(\mathbb{R}\) gibt, sodass \(k!a_k\to0\) und \[f(x)=Ae^x+\sum_{k=0}^\infty a_kx^k\] für alle \(x\in\mathbb{R}\)


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semasch
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-09-27

Würde ich so unterschreiben. LG, semasch


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