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Zahlentheorie » Teilbarkeit » Beweis oder Widerspruch zu Teilbarkeitsrelation
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Universität/Hochschule Beweis oder Widerspruch zu Teilbarkeitsrelation
PeterMeier123
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Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 112
  Themenstart: 2021-09-28

Hallo, ich möchte gerne folgende Aussage beweisen: $a^2|b^2 \Leftrightarrow T(a^2) \subseteq T(b^2)$ Mein Ansatz: 1.) $a^2|b^2 \Rightarrow T(a^2) \subseteq T(b^2)$ Sei $c\in T(a^2)$, dann folgt $c|a^2$ und es gelte $a^2|b^2$, so folgt $c|b^2 \Rightarrow c \in T(b^2)$ aus der Transitivität. 2.) $T(a^2) \subseteq T(b^2) \Rightarrow a^2|b^2$ Sei $a^2 \in T(a^2)$ und es gelte $T(a^2) \subseteq T(b^2)$, dann folgt $a^2|b^2$ da $a^2 \in T(b^2)$. Meine Frage ist nun, ob das hier wirklich richtig gedacht ist, wie ist eure Einschätzung dazu?


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tactac
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Was du gedacht hast, ist eigentlich nicht herauszulesen. Wie dem auch sei: Der Beweis zu 1) ist in Ordnung, der zu 2) nicht. (Was soll das "Sei $a^2 \in T(a^2)$" da bedeuten und bewirken!?) \(\endgroup\)


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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-09-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, ja, das sieht gut aus. Den Punkt 1) würde ich jedoch so herum aufziehen (das wäre für mich irgendwie stringenter): Gelte $c|a^2$, dann ist $c\in T(a^2)$ und es folgen $c|b^2$ und $c \in T(b^2)$ aus der Transitivität der Teilbarkeitsrelation. Also gilt $T(a^2) \subseteq T(b^2)$. Es würde genauso funktionieren, wenn man auf die Quadrate verzichtet, aber vermutlich benötigst du das im Rahmen eines anderen Beweises? EDIT: Der Beweis zu 2) ist ganz falsch, das hatte ich zunächst überlesen. Siehe dazu Beitrag #2 von tactac. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] [Verschoben aus Forum 'Zahlentheorie' in Forum 'Teilbarkeit' von Diophant]\(\endgroup\)


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PeterMeier123
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-28

Hallo @tactac und @Diophant, danke für eure ersten Einschätzungen 🙂 @Diophant, den Vorschlag finde ich gut, das liest sich besser 👍 @tactac und @Diophant, ist das Problem hier das $a^2$? Also hätte ich lieber ein festes aber beliebiges $c \in T(a^2)$ nehmen sollen? Oder geht diese Beweisrichtung in keinem Fall?


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-09-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, die Formulierung "Sei \(a^2\in T(a^2)\)" ist hier sinnfrei, denn jede Zahl ist Element ihrer Teilermenge. Fange also auch hier mit der eigentlichen Voraussetzung an. Vorschlag: 2.) Gelte $T(a^2) \subseteq T(b^2)$, dann folgt mit \(a^2\in T(a^2)\) zunächst $a^2 \in T(b^2)$ und damit \(a^2|b^2\). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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PeterMeier123
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-28

Hallo @diophant, dann möchte ich den zweiten Teil einmal neu versuchen, hier ist mein Ansatz für $T(a^2) \subseteq T(b^2) \Rightarrow a^2|b^2$: Gelte $T(a^2) \subseteq T(b^2)$, dann ist $a^2 \in T(a^2)$ und $a^2 \in T(b^2)$, sodass folgt $a^2|b^2$ Müsste doch passen, oder? EDIT: Ah @diophant, das ist hilfreich. Zwei Überlegungen, die zum gleichen Schluss kommen! Vielen Dank! 👍


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-09-28

Hallo, ja, das ist ja jetzt eine Variation meines nachgereichten Vorschlags und man kann es sicherlich auch so machen. Gruß, Diophant


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PeterMeier123
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-28

\quoteon(2021-09-28 16:20 - Diophant in Beitrag No. 6) Hallo, ja, das ist ja jetzt eine Variation meines nachgereichten Vorschlags und man kann es sicherlich auch so machen. Gruß, Diophant \quoteoff Ja, habe ich dann auch gesehen, als ich es abgeschickt hatte. Ich habe etwas länger im Editor gehangen :) Aber super, das freut mich, dass das jetzt passt. Achso und wie du richtig vermutet hast, den Beweis zu $a|b \Leftrightarrow T(a) \subseteq T(b)$ hatte ich schon durchgeführt :)


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StrgAltEntf
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Wohnort: Milchstraße
  Beitrag No.8, eingetragen 2021-09-28

\quoteon(2021-09-28 16:22 - PeterMeier123 in Beitrag No. 7) Achso und wie du richtig vermutet hast, den Beweis zu $a|b \Leftrightarrow T(a) \subseteq T(b)$ hatte ich schon durchgeführt :) \quoteoff Dann ist doch überhaupt nichts mehr zu zeigen! Die Aussage $x|y \Leftrightarrow T(x) \subseteq T(y)$ muss doch auch nicht erneut bewiesen werden. Ebensowenig $(a^7-5)|(a+b+34) \Leftrightarrow T(a^7-5) \subseteq T(a+b+34)$.


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tactac
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-09-28

\quoteon(2021-09-28 17:43 - StrgAltEntf in Beitrag No. 8) Dann ist doch überhaupt nichts mehr zu zeigen! \quoteoff Es ist sowieso nichts zu zeigen, da es sich, wie mindestens 60% aller Fakten, um ein Korollar des Yoneda-Lemmas handelt! 😄


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Triceratops
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-09-30

\quoteon(2021-09-28 23:08 - tactac in Beitrag No. 9) Es ist sowieso nichts zu zeigen, da es sich, wie mindestens 60% aller Fakten, um ein Korollar des Yoneda-Lemmas handelt! 😄 \quoteoff You made my day.


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