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Analysis » Integration » Länge einer Kurve: Formel unklar
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Universität/Hochschule J Länge einer Kurve: Formel unklar
Druesensekret
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  Themenstart: 2021-10-04

Hallo Ich habe eine Frage zum Integral bei der länge einer kurve Die Formel für die Länge der Kurve lautet: \(\int \limits_{a}^{b}\)\(\sqrt{(f′(x))+1}\) dx Der Ausdruck \(\sqrt{(f′(x))+1}\) steht dabei für die Hypotenuse bei dem Dreieck mit der x-komponente \(x_2 - x_1 = 1\) und der y-Komponente \(f′(x_1)\) Diese Hypotenuse ist jetzt eine Reelle Zahl. Da wir aber diese Hypotenuse in Infinitisemalen Einheiten betrachten wollen multiplizieren wir mit dx. Dieses Integrieren wir nun von a bis b. Somit erhalten wir die Länge der Kurve. Meine Frage: Die Formel für die länge der Kurve müsste doch dann eigentlich so lauten: \(\int \limits_{a}^{b}\)\(\sqrt{(f′(x))+1}\) dx dx Denn falls wir nur die erste Formel nehmen mit nur einem dx, dann ist es doch so als ob man die Länge der Kurve so ausrechnet indem man die reellwertigen Hypotenusen über alle Werte von a bis b zusammenaddiert, aber ich glaube das was man mit dem Integral zusammenaddiert müssen infinitisimal kleine Längen sein.


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, deine Formel ist falsch, ihr fehlt ein Quadrat: \[L(a,b)=\int_a^b {\sqrt{(f'(x))^2+1}\ \dd x}\] Der Grundgedanke ist dabei zunächst der, dass man die (infinitesimalen) Hypotenusen von infinitesimalen rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten \(\Delta x\) bzw. \(\Delta y\) durch Integration aufsummiert. Das Differential, das ja der eigentliche 'Auslöser' einer solchen Integration ist, entsteht dabei durch Ausklammern: \[\Delta L=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\sqrt{\left(1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2\right)\cdot\Delta x^2}=\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\cdot\Delta x\] Aufsummieren und der Grenzübergang \(\Delta x\to 0\) liefern dann das bekannte Integral. Es wird also nichts zusätzlich mit einem Differential multipliziert. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Integration' von Diophant]\(\endgroup\)


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Druesensekret
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-04

Hallo Danke für deine Ausführung, so habe ich es auch in einem Video gesehen. Meine Frage ist, in dieser Formel ist schon ein dx aber wenn man etwas integriert kommt ja immer noch ein dx dazu.


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-10-04 16:23 - Druesensekret in Beitrag No. 2) Meine Frage ist, in dieser Formel ist schon ein dx aber wenn man etwas integriert kommt ja immer noch ein dx dazu. \quoteoff Nein. Das kennst du so aus der Schule, wenn du eine vorgegebene Funktion integrierst. Aber auch hier schreibt man nicht einfach ein Differential hin, sondern das resultiert aus dem Konzept, welches hinter einer solchen bestimmten Integration steckt. Leite dir einmal selbst, etwa über Obersummen, ein Integral wie \(\int_0^1 {x^2\ \dd x}\) her. Da hat man zunächst die Summe \[\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}\right)^2\cdot \Delta x=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6} \] Daraus entsteht dann das Integral \(\int_0^1 {x^2\ \dd x}\) durch den Grenzübergang \(n\to\infty\) bzw. \(\Delta x=\frac{1}{n}\to 0\). Das Differential \(\dd x\) ist dabei das, was von der Breite \(\Delta x\) der aufsummierten Rechteckstreifen 'übrig geblieben' ist. Also eben: \(\int_0^1 {x^2\ \dd x}=\lim_{n\to\infty}\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6n^3}=\frac{1}{3}\) Und genauso ist das hier auch. Das ist ja prinzipiell die Herleitung eines Integrals über Untersummen, was hier gemacht wird (denn die tasächlichen Kurvenstücke sind länger als die Hypotenusen, so lange man noch endlich viele Dreiecke betrachtet). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-05

Wenn wir das Integral anders betrachten und wirklich die Hypotenusen (nicht die infinitisimalen) multipliziert mit dx aufsummieren wollen dann kriegen wir das gleiche Integral wie die Bogenlänge. Ich dachte erst das wäre falsch aber es ist möglich. Das Längenintegral wäre im eindimensionalen und das Flächenintegral im zweidimensionalen.


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, ich verstehe nicht so ganz, was du hier meinst. Dein grundlegendes Problem ist jedoch offensichtlich, dass du das Konzept des Riemann-Integrals samt Bedeutung des Differentials nicht wirklich verstanden hast. So sieht das hier zumindest aus. Ein bestimmtes Integral ist stets eine Summe über eine (überabzählbare) Menge infinitesimaler Elemente. Im eindimensionalen Fall sind das i.d.R. senkrechte Strecken der Breite \(\dd x\), welche die Funktionswerte repräsentieren. Die Differentiale kommen also durch diese infinitesimalen Elemente in das Integral und nicht weil man aus Willkür ein dx dahinterschreibt, so wie das heutzutage in der Schule oft genug vermittelt wird... \quoteon(2021-10-05 08:09 - Druesensekret in Beitrag No. 4) Wenn wir das Integral anders betrachten und wirklich die Hypotenusen (nicht die infinitisimalen) multipliziert mit dx aufsummieren wollen... \quoteoff Das eben ist Unsinn. Wenn da ein \(\dd x\) dahintersteht, dann sind die Elemente, die man aufsummiert, infinitesimal. Anderenfalls wäre es ja kein Integral, sondern eine ganz gewöhnliche Summe. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-05

Ich verstehe, dass das dx den einzelnen Funktionswerten eine breite verleihen und diese Stücke werden dann aufsummiert im Integral. Bei einer Kurve verleiht das dx den einzelnen Hypotenusen keine Breite sondern macht sie infinitesimal kurz. Man könnte aber anstatt die Hypotenusen kurz zu machen ihnen eine breite geben. Das wäre das gleiche Integral.


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Caban
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-05

Hallo Nein, wenn du dx eine Breite zuordnest, die nicht unendlich klein ist, berechnst du nicht die Bogenlänge der Funktion sondern die Bogenlänge einer Art Treppenfunktion. Gruß Caban


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, nein, tut mir leid: du verstehst es leider überhaupt nicht. Das Problem ist hier auch nicht die besprochene Formel, sondern deine Unkenntnis hinsichtlich des Integralbegriffs. \quoteon(2021-10-05 10:59 - Druesensekret in Beitrag No. 6) Ich verstehe, dass das dx den einzelnen Funktionswerten eine breite verleihen und diese Stücke werden dann aufsummiert im Integral. \quoteoff Das ist die Veranschaulichung des Riemann-Integrals als Summe infinitesimaler Rechteckstreifen und bedeutet insbesondere nicht, dass man nicht auch anders geartete infinitesimale Elemente aufsummieren kann. \quoteon(2021-10-05 10:59 - Druesensekret in Beitrag No. 6) Bei einer Kurve verleiht das dx den einzelnen Hypotenusen keine Breite sondern macht sie infinitesimal kurz. \quoteoff Man 'verleiht' diesen Hypotenusen gar nix. Man macht sie zunächst infinitesimal klein, und in dem Moment ist das Differential dann eben durch diesen Prozess da. Das habe ich dir doch in #1 detailliert vorgerechnet. Und diese infinitesimalen Elemente summiert man dann durch Integration zur gesuchten Bogenlänge auf. Da ist nichts anders als bei jedem anderen (eindimensionalen) bestimmten Integral. Es ist also \[\dd L=\sqrt{\dd f^2+\dd x^2}=\sqrt{(f'(x))^2+1}\ \dd x\] die Länge einer solchen infinitesimalen Hypotenuse und \[L(a,b)=\int_a^b {\sqrt{(f'(x))^2+1}\ \dd x}\] die gesuchte Bogenlänge. \quoteon(2021-10-05 10:59 - Druesensekret in Beitrag No. 6) Man könnte aber anstatt die Hypotenusen kurz zu machen ihnen eine breite geben. Das wäre das gleiche Integral. \quoteoff Nein, das wäre falsch. Das was du meinst, funktioniert hier nur zufällig. Und es müsste dir schon deshalb klar sein, dass daran etwas faul ist, als dass es offensichtlich nur für Dreiecke mit einer Breite von 1 LE funktioniert. Nochmal: studiere den Begriff des Riemann-Integrals, um das hier zu verstehen. Deine Verständnisprobleme liegen dort und haben mit der Bogenlänge einer Kurve überhaupt nichts zu tun. @Caban: \quoteon(2021-10-05 11:04 - Caban in Beitrag No. 7) Nein, wenn du dx eine Breite zuordnest, die nicht unendlich klein ist... \quoteoff Ein Differential ist stets infinitesimal, insofern ist das was du schreibst ein Widerspruch in sich. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]\(\endgroup\)


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Ok danke


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