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Schulmathematik » Stochastik und Kombinatorik » Durchschnittlicher Wert bei zweimaliger Münzziehung
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Schule J Durchschnittlicher Wert bei zweimaliger Münzziehung
Caban
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  Themenstart: 2021-10-08

Hallo Ich habe Fragen zu dieser Aufgabe: Aus einem Beutel mit zwölf 50-Cent-Münzen, fünf 1 Euro-Münzen und acht 2 Euro-Münzen werden zufällig zwei Münzen gezogen. Welcher Geldbetrag wird man bei häufiger Versuchsdurchführung durchschnittlich herausziehen? Ich würde so rechnen: (X,1,1.5,2,2.5,3,4;P(X),132/600,120/600,20/600,192/600,80/600,56/600) Als Erwartungswert erhalte ich 2.16 Euro. Jemand anders kommt auf 1.41. Er hat aber z.B.: p(X=1.5)=5/25*12/24 gerechnet, ohne den Pfad zu doppeln, aber er ist doch zweimal da. Was sagt ihr dazu? Gruß Caban


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Tetris
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-08

Ich bin für deine Version. Lg, T.


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Caban
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-08

Hallo Tetris, danke, dann bin ich beruhigt. Bei der anderen Version wäre die Summe der Wahrscheinlichkeiten nicht 1, aber ganz sicher war ich mir nicht, ob ich richtig liege. Gruß Caban


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Scynja
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-08

Ich bin auch für deine Version. Man kann ja einfach die Geldsumme des Beutels berechnen und diese durch die Anzahl Münzen teilen (27/25 = 1,08). Der Erwartungswert nach einmal ziehen ist also bereits 1,08€. Die zweite Münze kann nicht <50ct sein. Also kann 1,41€ nicht stimmen. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Caban
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-08

Hallo Scynja, danke für diese sehr gute Argument! Gruß Caban


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sonnenschein96
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-08

Das ganze kann man denke ich mit der multivariaten hypergeometrischen Verteilung beschreiben. Mit der Notation von dort gilt \(n=2, k=3, B_1=12, B_2=5, B_3=8\) und damit \(N=B_1+B_2+B_3=25\). Der Geldbetrag wird beschrieben durch \(G=0.5X_1+X_2+2X_3\). Es gilt dann \[E[G]=0.5E[X_1]+E[X_2]+2E[X_3]=0.5\frac{nB_1}{N}+\frac{nB_2}{N}+2\frac{nB_3}{N}=2.16.\]


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Caban
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-08

Hallo sonnenschein Danke für die Bestätigung des Ergebnisses! Gruß Caban


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Caban
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-08

Danke an alle Beteiligten!


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cramilu
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-09

\(E\:=\:\frac{27,00\,€}{25}\:+\:\frac{8}{25}\cdot\frac{25,00\,€}{24}\:+\:\frac{5}{25}\cdot\frac{26,00\,€}{24}\:+\:\frac{12}{25}\cdot\frac{26,50\,€}{24}\:=\) ... ... \(=\:\frac{24\,\cdot\,27,00\,€\:+\:8\,\cdot\,25,00\,€\:+\:5\,\cdot\,26,00\,€\:+\:12\,\cdot\,26,50\,€}{25\:\cdot\:24}\:=\) ... ... \(=\:\frac{648,00\,€\:+\:200,00\,€\:+\:130,00\,€\:+\:318,00\,€}{600}\:=\) ... ... \(=\:\frac{1.296,00\,€}{600}\:=\:2,16\:€\) Bei zwei Ziehungen geht's ja noch flott. Gleicher Beutel, aber 23[!] "Ziehungen": Welchen mittleren Restbetrag kann man im Beutel erwarten?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-09

Hallo, mit der richtigen Erkenntnis ist die Aufgabe total einfach. Nix mit multivariater hypergeometrischer Verteilung und so. \quoteon(2021-10-08 20:28 - Scynja in Beitrag No. 3) Man kann ja einfach die Geldsumme des Beutels berechnen und diese durch die Anzahl Münzen teilen (27/25 = 1,08). Der Erwartungswert nach einmal ziehen ist also bereits 1,08€. \quoteoff Wenn also A der Wert der ersten Münze ist, ist also E(A) = 27/25. Dasselbe gilt für den Wert B der zweiten Münze. Es ist E(A+B) = E(A) + E(B) = 2*27/25 = 54/25. \quoteon(2021-10-09 06:23 - cramilu in Beitrag No. 8) Gleicher Beutel, aber 23[!] "Ziehungen": Welchen mittleren Restbetrag kann man im Beutel erwarten? \quoteoff Analog kann man nach 23 Ziehungen die Summe 23*27/25 erwarten. im Beutel verbleiben dann 27 - 23*27/25 = 2*27/25. Fun Fact: Wenn 25 mal gezogen wird, verbleiben im Beutel 27 - 25*27/25 = 0. Das hätte man aber auch durch Zählen der Münzen heraus bekommen können.


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Caban
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-09

Hallo cramilu Danke für die Rechnung, sie entspricht in etwa meiner. @ StrgAltEntf Au die Idee mit den Mittelwert bin ich auch gekommen, aber da das Ziehen ohne Zurücklegen ist, habe ich das verworfen. Bei Ziehen mit Zurücklegen wäre das klar gewesen. Gruß Caban


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Kuestenkind
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-10-09

Huhu, siehe hier #1 und #7. Gruß, Küstenkind


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Caban
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-09

Hallo Küstenkind Sehr schöne Begründungen! Das hat mir sehr geholfen! Gruß Caban


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Caban hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Caban hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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