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Ingenieurwesen » Elektrotechnik » Herleitung differenzieller Widerstand bei Differentiation der Shockley Gleichung
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Universität/Hochschule J Herleitung differenzieller Widerstand bei Differentiation der Shockley Gleichung
Sinnfrei
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  Themenstart: 2021-10-09

In meinem Buch steht an einer Stelle, dass man mit der Differentiation mittels Schockley Gleichung: $$I_D(U_D) = I_S \cdot \left(\exp\left(\frac{U_D}{U_T}\right) - 1 \right) \quad (1)$$ auf die folgende Gleichung, für den $r_{D,A}$ kommt: $$r_{D,A} = \frac{n_D \cdot U_T}{I_{D,A}} \quad (2)$$ Meine Problem ist, dass ich es noch nicht sehe, wie man von (1) auf (2) kommt.


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-09

\quoteon(2021-10-09 01:09 - Sinnfrei im Themenstart) Meine Problem ist, dass ich es noch nicht sehe, wie man von (1) auf (2) kommt. \quoteoff Durch Differenzieren von (1) kommst du auf$$ r={U_T\over I_D+I_S} \;. $$Um das mit (2) in Deckung zu bringen, musst du dir zwei Punkte anchauen: 1. In (1) sollte wohl $n_D\cdot U_T$ statt nur $U_T$ stehen. (Hast du dich verschrieben?) 2. Im Nenner wird entweder $I_S$ wegen $I_s\ll I_D$ vernachlässigt oder aber in die Definition von $I_{D,A}$ mit aufgenommen. (Du hast uns leider nicht gesagt, was $I_{D,A}$ ist.) --zippy


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-10-09

Hallo zusammen, das "A" dürfte den "Arbeitspunkt" bezeichnen, und tatsächlich dürfte hier die Vernachlässigung $I_S\ll I_D$ zum Tragen kommen. Und ja, in der Gleichung (1) oben fehlt der Emissionskoeffizient $n$ (die Bezeichnung $n_D$ wäre mir nicht geläufig). Die Gleichung sollte lauten: $$I_D(U_D) = I_S \cdot \left(\exp\left(\frac{U_D}{nU_T}\right) - 1 \right)\tag1$$ Am einfachsten leitet man den differentiellen Widerstand her, indem man zunächst nach $U_D$ umformt: $$U_D=nU_T\ln\left(1+\frac{I_D}{I_S}\right)\tag2$$und dann nach $I_D$ ableitet: $$r_D=\frac{\mathrm dU_D}{\mathrm dI_D}=\frac{nU_T}{I_S\left(1+\frac{I_D}{I_S}\right)}=\frac{nU_T}{I_D+I_S}\tag3$$Da der Sperrstrom $I_S$ typischerweise nur im Bereich von nano-Ampère liegt, kann man $I_S$ vernachlässigen. Ciao, Thomas


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-09

\quoteon(2021-10-09 09:51 - MontyPythagoras in Beitrag No. 2) Am einfachsten leitet man den differentiellen Widerstand her, indem man zunächst nach $U_D$ umformt \quoteoff Das ist ein überflüssiger Schritt, denn man kann doch sofort $$ \frac1r = {\mathrm dI_D\over\mathrm dU_D} = \frac1{n_D\cdot U_T}\,(I_D+I_S) $$hinschreiben.


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Sinnfrei
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-09

\quoteon(2021-10-09 01:09 - Sinnfrei im Themenstart) $$I_D(U_D) = I_S \cdot \left(\exp\left(\frac{U_D}{U_T}\right) - 1 \right) \quad (1)$$ \quoteoff Also wenn ich (1) auf der rechten Seite nach $U_D$ ableite und das soll man wohl laut Text, dann komme ich da auf $\frac{I_S \exp(\frac{U_D}{n_D U_T})}{U_T n}$ Wie zippy hierauf kommt, verstehe ich nicht: \quoteon(2021-10-09 07:01 - zippy in


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-09

\quoteon(2021-10-09 10:42 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Also wenn ich (1) auf der rechten Seite nach $U_D$ ableite und das soll man wohl laut Text, dann komme ich da auf $\frac{I_S \exp(\frac{U_D}{n_D U_T})}{U_T n}$ \quoteoff Und der Zähler ist $=I_D+I_S$. Also kommst du auf: \quoteon(2021-10-09 10:11 - zippy in Beitrag No. 3) $$ \frac1r = {\mathrm dI_D\over\mathrm dU_D} = \frac1{n_D\cdot U_T}\,(I_D+I_S) $$\quoteoff PS Ich hatte oben ein paar mal fälschlicherweise $U_D$ statt $U_T$ geschrieben.


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-09

Hallo zippy, \quoteon(2021-10-09 10:11 - zippy in Beitrag No. 3) \quoteon(2021-10-09 09:51 - MontyPythagoras in Beitrag No. 2) Am einfachsten leitet man den differentiellen Widerstand her, indem man zunächst nach $U_D$ umformt \quoteoff Das ist ein überflüssiger Schritt, denn man kann doch sofort $$ \frac1r = {\mathrm dI_D\over\mathrm dU_D} = \frac1{n_D\cdot U_D}\,(I_D+I_S) $$hinschreiben. \quoteoff Du und ich und einige andere Senioren und Fortgeschrittene können das, aber es erfordert, ein, zwei Rechenschritte im Kopf zu machen, was Sinnfrei offenkundig nicht gesehen hat. @Sinnfrei: Es ist eine einfache, zweidimensionale Kennlinie. Ob Du $U$ nach $I$ ableitest, oder $I$ nach $U$ und dann den Kehrwert nimmst, macht keinen Unterschied. Bedenke allgemein, dass $$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{\frac{\text{d}x}{\text{d}y}}$$ gilt. Ciao, Thomas


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Sinnfrei
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-09

Wäre dann nicht der Zähler: $I_D(U_D)$, da das für $\exp(\frac{U_D}{n_D \cdot U_T}) \gg 1$ gilt? Wie kommst du auf das $+I_S$. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


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zippy
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-09

\quoteon(2021-10-09 10:57 - MontyPythagoras in Beitrag No. 6) Du und ich und einige andere Senioren und Fortgeschrittene können das, aber es erfordert, ein, zwei Rechenschritte im Kopf zu machen, was Sinnfrei offenkundig nicht gesehen hat. \quoteoff Dann sollte man diese Schritte erläutern und nicht eine umständlichere Alternativ-Lösung vorschlagen. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


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zippy
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-09

\quoteon(2021-10-09 11:02 - Sinnfrei in Beitrag No. 7) Wäre dann nicht der Zähler: $I_D(U_D)$, da das für $\exp(\frac{U_D}{n_D \cdot U_T}) \gg 1$ gilt? \quoteoff Das ist ja genau die Näherung, von der oben die Rede war. \quoteon(2021-10-09 11:02 - Sinnfrei in Beitrag No. 7) Wie kommst du auf das $+I_S$. \quoteoff Rechne doch $I_D+I_S$ einfach mal aus und vergleiche mit deinem Zähler vor der Näherung.


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Du hast die Formel: $$I_D(U_D) = I_S \cdot \left(\exp\left(\frac{U_D}{n_D U_T}\right) - 1\right) \quad (1)$$ nach $$I_S \cdot \exp\left(\frac{U_D}{n_D U_T}\right) \quad (2)$$ umgeformt. Da da noch ein $-I_S$ in (1) drine war, hast du es einfach auf die andere Seite gebracht. Verstanden. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


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Hi zippy, \quoteon(2021-10-09 11:02 - zippy in Beitrag No. 8) Dann sollte man diese Schritte erläutern und nicht eine umständlichere Alternativ-Lösung vorschlagen. \quoteoff Was umständlicher ist, lasse ich mal dahingestellt... 🙂 Alternativwege zu kennen schadet nie. @Sinnfrei: jepp, so ist es richtig. Ciao, Thomas


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\quoteon(2021-10-09 11:19 - MontyPythagoras in Beitrag No. 11) Alternativwege zu kennen schadet nie. \quoteoff Da ich immer gerne ausspreche, was mir durch den Kopf geht: Ich empfinde deine Einmischung in diesen Thread nicht als hilfreich.


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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-10-09

\quoteon(2021-10-09 11:23 - zippy in Beitrag No. 12) \quoteon(2021-10-09 11:19 - MontyPythagoras in Beitrag No. 11) Alternativwege zu kennen schadet nie. \quoteoff Da ich immer gerne ausspreche, was mir durch den Kopf geht: Ich empfinde deine Einmischung in diesen Thread nicht als hilfreich. \quoteoff Da ich das auch gerne tue: damit kann ich leben. Kein Grund, unnötig aggressiv zu werden. Eigentlich wollte ich ja auch nur Deine Unklarheiten aus Beitrag (1) klären und zeigen, wie es typischerweise berechnet wird. Wenn man $r$ in Abhängigkeit von $I_D$ berechnen will, macht es eben Sinn, zunächst $U_D$ in Abhängigkeit von $I_D$ darzustellen. Im Grunde ist der Weg egal. Ob das für Sinnfrei hilfreich war oder nicht, kann er/sie ja selbst entscheiden... Ciao, Thomas


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-09

Ich finde beide Wege sehr hilfreich und einen alternativen Weg zu kennen hat ja noch nie geschadet, da hat MontyPythagoras recht. Man kann sich ja trotzdem darüber austauschen und "gemeinsam" nach der richtigen Lösung suchen, wenn sich schon eine dritte Partei, in die Thematik einbringen möchte. Das zeigt mir, dass hier noch andere User aktiv sind und da bleibt man dann gerne auf dieser Plattform. Je mehr desto besser. Das Problem lag aber in diesem Fall bei mir, da ich vergessen hatte, die Variable mit anzugeben, wonach denn eigentlich abgeleitet wurde. Das hätte den alternativen Weg wahrscheinlich gespart. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.15, eingetragen 2021-10-09

Hallo Sinnfrei, alles gut. Grundsätzlich bist Du bei zippy natürlich hervorragend aufgehoben und einen viel besseren Helfer kann man hier nicht erwarten als sie/ihn. Ciao, Thomas


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Sinnfrei hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sinnfrei hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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