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Analysis » Funktionenfolgen und -reihen » Wert von Σ 1/(kn)!
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Universität/Hochschule Wert von Σ 1/(kn)!
schlauuu
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  Themenstart: 2021-10-16

hi die Reihe \(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n)!}=1/2*(\mathrm{e}+\mathrm{e}^{-1})\) kann man einfach lösen wenn man sich die Taylorreihe von der rechten Seite anschaut ich dachte man könnte das verallgemeinern wenn man sich die Reihe \(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(kn)!} \) anschaut in dem man geeignete Einheitswurzeln hernimmt, z.b. k = 3 \(\zeta_3=\mathrm{e}^{2\pi/3}\) dann sollte die Reihe gleich \(1/3(\mathrm{e}^1+\mathrm{e}^{\zeta_3 }+\mathrm{e}^{\zeta_3^2 })\) sein, weil für die Taylorreihen gilt: \(n = 0: 3 \\ n=1: x+\zeta_3 x+ \zeta_3^2 x = 0 \text{, da Einheitswurzeln} \\ n=2: x^2/2 +\zeta_3^2 x^2/2 + \zeta_3^4 x^2/2 = 0\\ n =3: 3*x^3/3!\) der Grenzwert ist definitiv reell, aber ich sehe nicht ganz wie man \(\mathrm{e}^{\zeta_3 }+\mathrm{e}^{\zeta_3^2 }\) vereinfachen kann. vielleicht könnte man nur den realanteil betrachten?


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-16

Tipp: Benutze, dass die Einheitswurzeln zueinander konjugiert sind. Viele Grüße Wally


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schlauuu
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16

also ist \(\operatorname{e}^{\zeta_3}+\operatorname{e}^{\zeta_3^2} = \operatorname{e}^{\operatorname{e}^{i2\pi/3}}+\operatorname{e}^{(\operatorname{e}^{i2\pi/3})^{-1}}\) mit \(\operatorname{e}^{ix} = \operatorname{cos}(x)+i\operatorname{sin}(x)\) folgt \(\operatorname{e}^{\operatorname{cos}(2\pi/3)+i\operatorname{sin}(2\pi/3)}+\operatorname{e}^{\operatorname{cos}(2\pi/3)-i\operatorname{sin}(2\pi/3)} = \operatorname{e}^{\operatorname{cos}(2\pi/3)}(\operatorname{e}^{i\operatorname{sin}(2\pi/3)}+\operatorname{e}^{-i\operatorname{sin}(2\pi/3)})\) nochmals sin und cos darstellung und es kommt raus \(\operatorname{e}^{\operatorname{cos}(2\pi/3)}(2\operatorname{cos}(\operatorname{sin}(2\pi/3))\) es wurde verwendet, dass sinus schiefsymmetrisch und cos symmetrisch ist. Das sollte sich auch leicht verallgemeinern lassen indem man immer komplex konjugierte Paare betrachtet wenn k ungerade ist tauchen die Einheitswurzeln in paaren auf + einmal die 1, wenn k gerade ist, ist \(\zeta_k^{k/2}=-1\) und die restlichen sind wieder paarweise ( bis auf ^0=1)


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