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Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Lösungen der van-der-Pol-Gleichung existieren für alle t ≥ 0
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Universität/Hochschule Lösungen der van-der-Pol-Gleichung existieren für alle t ≥ 0
mattpasca
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  Themenstart: 2021-10-17

Hallo liebe alle, ich bin gerade mit der Untersuchung der Lösungen zu $$ \frac{d}{dt}x = y - x^2 + x\\ \frac{d}{dt}y = - x $$ beschäftigt. Insbesondere würde ich gerne zeigen, dass jede Lösung auf ganz $[0, \infty)$ existiert. Der einzige Ansatz, der mir einfällt ist dieser: Nehme an, eine Lösung $\phi$ existiere nur auf $[0, t_m)$ mit $t_m < \infty$. Dann gilt $\lim_{t\to t_m} ||\phi(t)|| = + \infty$. D.h. einer der folgenden Fälle muss auftreten: I. Eine der zwei Komponenten $\phi_1$ oder $\phi_2$ divergiert in der Norm. II. Beide Komponenten divergieren in der Norm. III. $\phi$ beschreibt eine immer größere Spirale um die Null. Die Fälle I und II konnte ich dank der Eigenschaften der Ableitung leicht behandeln. Für den Fall III habe ich einfach keine Ahnung. Mir scheint, dass der Ansatz nicht funktionieren kann. Dieser basiert nähmlich darauf, die Divergenz von $||\phi||$ auf eine Komponente zu übertragen. Ich wollte euch fragen, ob eurer Meinung nach dieser Weg gut ist und ihr dazu einen Tipp habt, oder ob es bessere Ansätze gibt. Bitte gibt mir keine vollständige Lösung, ich suche nur nach Rat. EDIT: Die DGL ist $$ \frac{d}{dt}x = y - x^3 + x\\ \frac{d}{dt}y = - x $$


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haerter
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-18

Hallo, ein Ansatz, der mir erfolgversprechend aussieht (ich habe ihn nicht wirklich durchgerechnet): Wenn die Lösung nicht auf $[0,\infty)$ existiert, dann müssen in endlicher Zeit unendlich viele "Umläufe" stattfinden. Soweit ich das mal überschlagen habe, dauern diese aber immer länger, je weiter außen sie stattfinden. Zum Beispiel könnte man abschätzen, wie lang allein der Teil zwischen dem Schnittpunkt mit der Parabel $y=x^2-x$ und der $x$-Achse benötigt. Die Zeit dafür scheint anzuwachsen und bei einem endlichen Existenzintervall müsste sie sogar (schnell genug) gegen Null konvergieren. Viele Grüße, haerter


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mattpasca
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-19

Hallo haerter und vielen Dank für deine Antwort! Ja, sowas ähnliches hatte ich mir auch gedacht. Im Prinzip kann die Kurve aber ja beliebig "schnell" verlaufen. Und das kann ich nicht ausschliessen, da die Ableitung nur von den Werten von $\phi$ abhängt. Richtig?


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Au Mann, ich hatte schon schwer überlegt, aber die geändete Dgl. ist relativ leicht zu behandeln. Sagt die "Ljapunovfunktion", z.B. \( V(x,y)=x^2+y^2\) etwas? Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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mattpasca
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-20

Hallo Wally, ja, der Edit kam etwas spät... die DGL werde ich mir in Zukunft aber trotzdem mal anschauen :) Ich hab verstanden, dass ich lieber $||\phi(t)||$ direkt betrachten sollte Da wir an die Ableitung interessiert sind und das Ding ja divergiert, können wir das einfachere $||\phi(t)||^2$ untersuchen. Das sieht wie $V(\phi(t))$ aus... Ich versuche gerade daran zu arbeiten. Vielen Dank!


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Wally
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-20

Hallo, da bist du auf dem richtigen Weg :) Viele Grüße Wally


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mattpasca
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-20

Da sollte also so aussehen: Sei $[0, T)$ das maximale Existenzintervall von $\phi$. Dann divergiert $||\phi(t)||$ für $t\to T$, also auch $||\phi(t)||^2$ für $t\to T$. Nun gilt $\frac{d}{dt}||\phi(t)||^2 = 2(\phi_1(t)^2 - \phi_1(t)^4)$. Da die Abbildung $x \mapsto x²-x⁴$ durch 2 beschränkt ist, folgt mit dem MWS $||\phi(t)||^2 = 2t( \phi_1(\xi)^2 - \phi_1(\xi)^4 ) + ||\phi(0)||^2 < 4T + ||\phi(0)||^2 $ für ein $\xi \in [0,t]$ . Widerspruch zur Divergenz von $||\phi(t)||$. Danke für die Tipps! Gruß


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Wally
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) OK, alternativ kannst du auch damit argumentieren, dass die Norm der Orbits für \( \|\phi(t)\|>1 \) monoton fallend ist und die Orbits deshalb eine geeignete kompakte Kugel (etwa mit Radius \( \max\{1, \|\phi(0)\|\}\)) nicht mehr verlassen können. Nach einem bekannten Satz leben die dann für immer. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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mattpasca
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-20

Oh, schöner Lösungsansatz. Muss mich noch daran gewöhnen, die klassischen Resultate, wie zB der Fortsetzungssatz, zu benutzen


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