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 Rektifizierbare Kurven |
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sina1357
Aktiv 
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 184
 |  Themenstart: 2021-10-18
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Hallo zusammen,
ich bearbeite folgende Aufgabe:
Sei I=[0,1] ein kompaktes Intervall und (\gamma_\nue) eine gleichmäßig konvergente Folge rektifizierbarer Kurven in C^0(I,\IR^n) mit Grenzkurve \gamma. Zeige: Sind die Längen der \gamma_\nue gleichmäßig beschränkt, so ist auch \gamma rektifizierbar, und es gilt L(\gamma) <= lim(\nue->\inf,inf L(\gamma_\nue)).
Mein Ansatz:
Sei \epsilon > 0 und gelte abs((\gamma_\nue)(t)-\gamma(t)|)<\epsilon/2k für alle \nue>=N.
Dann
sum(norm((\gamma(t_k)-\gamma(t_(k-1)))),k=1,n)<=sum(abs((\gamma(t_k)-\gamma(t_(k-1)))),k=1,n)<=sum(abs(((\gamma_\nue)(t_k)-(\gamma_\nue)(t_(k-1)))),k=1,n) + \epsilon <= L(\gamma_\nue)+\epsilon
Genügt dies zur Folgerung?
danke für eure Hilfe
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semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 359
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-18
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Moin sina1357,
ich meine, dass es in
\quoteon(2021-10-18 15:08 - sina1357 im Themenstart)
L(\gamma) <= lim(\nue->\inf,inf L(\gamma_\nue)).
\quoteoff
eher
\[L(\gamma) \le \limsup_{\nu \to \infty} L(\gamma_{\nu}) < \infty\]
(letztere Ungleichung ist gerade die Konsequenz der gleichmäßigen Beschränktheit) heißen müsste.
Dein Ansatz ist soweit (fast) richtig, aber es braucht noch etwas mehr, um die Behauptung zu folgern. In
\quoteon(2021-10-18 15:08 - sina1357 im Themenstart)
abs((\gamma_\nue)(t)-\gamma(t)|)<\epsilon/2k für alle \nue>=N.
\quoteoff
muss es auf der rechten Seite $\frac{\epsilon}{2n}$ heißen. In
\quoteon(2021-10-18 15:08 - sina1357 im Themenstart)
Dann
sum(norm((\gamma(t_k)-\gamma(t_(k-1)))),k=1,n)<=sum(abs((\gamma(t_k)-\gamma(t_(k-1)))),k=1,n)<=sum(abs(((\gamma_\nue)(t_k)-(\gamma_\nue)(t_(k-1)))),k=1,n) + \epsilon <= L(\gamma_\nue)+\epsilon
\quoteoff
solltest du durchgehend Norm- anstelle von Betragsklammern verwenden. Die erste Ungleichung ist außerdem natürlich redundant. Damit hast du dann für die Zerlegung $Z := \{t_0, t_1, \ldots, t_n\}$ von $[0,1]$ mit $0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = 1$ die Beziehung
\[L(\gamma,Z) := \sum_{k = 1}^n \|\gamma(t_k)-\gamma(t_{k-1})\| \le L(\gamma_{\nu}) + \epsilon\]
für $\nu \ge N$. Daraus ist nun noch zunächst $L(\gamma,Z) \le \limsup_{\nu \to \infty} L(\gamma_{\nu}) + \epsilon$ und daraus weiter wegen der Beliebigkeit von $\epsilon$ und $Z$ die Behauptung zu folgern.
LG,
semasch
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sina1357
Aktiv
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 184
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-19
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Hallo semasch,
danke für deine Hilfe und ausführliche Antwort! Ich habe die Fehler angepasst und die Folgerung getroffen.
Gruß
sina
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| | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
semasch
Senior
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 359
Wohnort: Wien
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-19
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Moin sina,
ich habe nochmal nachgedacht, und die ursprüngliche (stärkere) Behauptung (mit $\liminf$ anstelle von $\limsup$) dürfte doch richtig sein. Man kann sich das so überlegen:
Da $\liminf_{\nu \to \infty} L(\gamma_{\nu})$ ein Häufungspunkt von $(L(\gamma_{\nu}))$ ist, gibt es eine Teilfolge $(L(\gamma_{\nu_{\mu}}))$ mit $\lim_{\mu \to \infty} L(\gamma_{\nu_{\mu}}) = \liminf_{\nu \to \infty} L(\gamma_{\nu})$. Auch für diese Teilfolge gilt natürlich $\gamma_{\nu_{\mu}} \to \gamma$ gleichmäßig. Damit lässt sich mit deinem Ansatz ganz genau wie zuvor folgern, dass für eine feste Zerlegung $Z$ von $[0,1]$ und ein festes $\epsilon > 0$ für fast alle $\mu \in \mathbb{N}$ die Beziehung
\[L(\gamma,Z) \le L(\gamma_{\nu_{\mu}}) + \epsilon\]
gilt. Wegen $\lim_{\mu \to \infty} L(\gamma_{\nu_{\mu}}) = \liminf_{\nu \to \infty} L(\gamma_{\nu})$ folgt daraus
\[L(\gamma,Z) \le \liminf_{\nu \to \infty} L(\gamma_{\nu}) + \epsilon\]
und damit wie zuvor die Behauptung.
LG,
semasch
PS: Tatsächlich würde es sogar reichen zu fordern, dass (i) anstelle der gleichmäßigen Konvergenz $\gamma_{\nu} \to \gamma$ bloß punktweise gilt (da $|Z| < \infty$) und die Grenzkurve $\gamma$ stetig ist bzw. (ii) anstelle der gleichmäßigen Beschränktheit bloß $\liminf_{\nu \to \infty} L(\gamma_{\nu}) < \infty$ gilt, um dieselben Folgerungen für die Grenzkurve $\gamma$ zu erhalten.
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