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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » lineares Gleichungssystem im Restklassenkörper
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Universität/Hochschule J lineares Gleichungssystem im Restklassenkörper
Lupi98
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  Themenstart: 2021-10-19

Hallo liebe Mathefreunde, vergangene Woche hat unser Prof uns eine kleine Aufgabe zum Nachdenken mit auf den Weg gegeben und ich bin leider total verwirrt und habe keinen wirklichen Plan, wie ich da rangehe. Wir haben folgendes lineares Gleichungssystem gegeben über dem Restklassenkörper der ganzen Zahlen modulo p, wobei p eine Primzahl ist: x - y +2z. =1 2x +y -2z =2 -x +3y +z =0 Nun soll ich die Lösung in Abhängigkeit von der Primzahl p bestimmen. Löst man dafür zunächst das Gleichungssystem ganz normal, wie man es aus der Schule kennt und macht dann weiter? Und wenn ja, wie geht es dann weiter? Ich wäre für Hinweise und Erkläungen sehr dankbar :) Viele liebe Grüße, Lucie


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-10-19 12:23 - Lupi98 im Themenstart) Löst man dafür zunächst das Gleichungssystem ganz normal, wie man es aus der Schule kennt und macht dann weiter? \quoteoff Das kann man grundsätzlich schon machen. Nur wird sich hier noch ein Problem auftun, was vermutlich auch der eigentliche Sinn und Zweck der Aufgabe ist. Löse also einmal über \(\IR\), dann siehst du sicherlich, was ich meine. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Lupi98
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-19

Hallo Diophant, (in der Aufgabe soll die Primzahl übrigens größer 1 sein, hatte ich eben vergessen zu schreiben) Vielen Dank schonmal für die schnelle Antwort! Ich habe jetzt einmal aufgelöst in den reellen Zahlen und erhalte x=1 y=2/7 z=1/7 bzw für unseren Restklassenkörper besser zu handhaben: x=1 7y=2 7z=1 Nun sind Brüche natürlich in den ganzen Zahlen nicht zulässig... Also wenn x die Restklasse 1 ist, dann haben wir ja nun nichts mehr zutun, denn die 1 ist ja ein Element aus unserem Restklassenkörper. Nun brauche ich noch das multiplikativ Inverse von 7 (als Lösung für z). Wenn p eine feste Primzahl wäre, hätte ich damit kein Problem, da p aber per Voraussetzung variabel sein soll, bin ich aufgeschmissen... Ähnliches Problem habe ich mit 7y=2. Wie gehe ich das schlau an? LG, Lucie


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, ich denke, es geht hier genau darum, dieses Problem mit den Gleichungen \(7y=2\) bzw. \(7z=1\) zu erkennen. Bedeutet: für alle Primzahlen \(p\neq 7\) gibt es eine eindeutige Lösung, für \(p=7\) ist die Lösungsmenge jedoch leer. Die Lösungsmenge kann man ja dann mit Hilfe der beiden Gleichungen (als Kongruenzgleichung geschrieben) notieren. Wäre jetzt zumindest meine Idee an dieser Stelle. Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-19

Hallo, vom ursprünglichen Gleichungssysten gelangt man durch elementare Zeilenumformungen zum äquivalenten Gleichungssystem x - y + 2z = 1 2y + 3z = 1 7y = 2 Aus der letzten Gleichung sieht man nun, dass in \(\IZ/7\IZ\) keine Lösung existiert, denn die letzte Gleichung lautet dann 0 = 2. Falls \(p\neq7\), existiert die Zahl \(7^{-1}\), und man kann weiterrechnen: \(y = 2\cdot7^{-1}\) \(3z = 3\cdot7^{-1}\) \(x=1+y-2z\) Nun muss man noch den Spezialfall p = 3 betrachten ...


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) @StrgAltEntf: Wie kommst du auf die Gleichung für \(3z\) (das ist mir im Moment nicht ersichtlich)? Dass \(p=3\) ein Spezialfall ist, sehe ich jetzt auch (das ist mir vorhin durch die Lappen gegangen, sorry). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-19

\quoteon(2021-10-19 14:09 - Diophant in Beitrag No. 5) @StrgAltEntf: Wie kommst du auf die Gleichung für \(3z\) (das ist mir im Moment nicht ersichtlich)? \quoteoff Ich habe so gerechnet: \(3z=1-2y=1-2\cdot2\cdot7^{-1}=(7-2\cdot2)\cdot7^{-1}=3\cdot7^{-1}\)


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Lupi98
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-19

Hallo ihr beiden, dass es für p=7 keine Lösung gibt, sehe ich :) Ansonsten erhält man x=1, y=2*7^(-1) und z=7^(-1). Da also y=2z bleibt nur zu klären, was denn das Inverse von 7 ist, abhängig natürlich von der Primzahl p. Kann ich die Gleichungen dann so schreiben, dass p als Variable auftaucht? Und warum ist p=3 ein Spezialfall? Ich dachte, man erhält dafür lediglich x=1, y=2 und z=1 Vielen Dank für eure Mühen, Lucie


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo Lucie, mache es für \(p=3\) einmal so wie ich vorhin: löse das LGS unter dieser Voraussetzung direkt im Restklassenkörper. Dann solltest du für diesen Fall unendlich mehrere Lösungen erhalten. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Lupi98
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-19

Hallo Diophant, alles klar, mache ich :) Danke dir ! Lucie


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Diophant
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-10-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo nochmal, viel einfacher einzusehen ist es natürlich allein über die 2. Gleichung von StrgAltEntf, \(3z=3\cdot 7^{-1}\). In \(\IZ/3\IZ\) ist das nämlich gleichbedeutend mit \(0=0\). Das noch als Ergänzung. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-10-19

\quoteon(2021-10-19 14:29 - Lupi98 in Beitrag No. 7) Ansonsten erhält man x=1, y=2*7^(-1) und z=7^(-1). Da also y=2z bleibt nur zu klären, was denn das Inverse von 7 ist, abhängig natürlich von der Primzahl p. Kann ich die Gleichungen dann so schreiben, dass p als Variable auftaucht? \quoteoff Ich würde es so stehen lassen. Wenn z. B. p = 11, dann ist \(7^{-1}=8\). Für p = 13 ist \(7^{-1}=2\). Etc. Ich kenne dafür keine elegante Formel. Für p = 3 gibt es, wie Diophant bereits sagt, mehrere Lösungen (x,y,z), die das Gleichungssystem lösen. Um genau zu sein, sind es drei. Ist klar, welche das sind?


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Triceratops
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-10-19

Das Vorgehen wird hier erklärt: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1504 Tatsächlich ist es ratsam, das LGS über einem beliebigen Körper zu lösen. Dabei macht man dann Fallunterscheidungen nach der Charakteristik des Körpers, weil diese darüber entscheidet, durch welche ganzen Zahlen geteilt werden darf. Die Endlichkeit des Körpers ist irrelevant.


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Lupi98
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-20

Ihr habt mir alle sehr geholfen! Vielen lieben Dank! Ich sehe zwar noch nicht die drei verschiedenen Lösungen, aber das wird schon... Sonst melde ich mich später nochmal :)


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Diophant
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  Beitrag No.14, eingetragen 2021-10-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, im Fall \(p=3\) erhält man die Lösungsmenge \(x=z\) und \(y=2\). Das ergibt dann für \(x\) und \(z\) drei mögliche Paare. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Lupi98
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23

Hat jetzt alles funktioniert! Vielen Dank euch allen! :)


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