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Universität/Hochschule J Bestapproximation im Hilbertraum
Axerstein
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  Themenstart: 2021-10-20

Einen wunderschönen guten Tag! Bei folgendem Beispiel komme ich gerade nicht weiter: Sei $X$ ein Hilbert-Raum mit Skalarprodukt $a(\cdot, \cdot)$ und Norm $\|\cdot\| .$ Sei $X_{n} \subset X$ ein endlich-dimensionaler Teilraum von $X$ mit $\operatorname{dim} X_{n}=n$. Die Bestapproximation von $u \in X$ in $X_{n}$ ist ein Element $u_{n} \in X_{n}$ mit der Eigenschaft $$ \left\|u-u_{n}\right\|=\min _{v_{n} \in X_{n}}\left\|u-v_{n}\right\| $$ (a) Zeigen Sie, dass die Bestapproximation $u_{n} \in X_{n}$ von $u \in X$ eine variationelle Formulierung der Form $$ a\left(u_{n}, v_{n}\right)=F\left(v_{n}\right) \quad \text { für alle } v_{n} \in X_{n} $$ löst, wobei $F: X \rightarrow \mathbb{R}$ ein geeignetes lineares Funktional ist. Zeigen Sie, dass die Bestapproximation $u_{n} \in X_{n}$ von $u \in X$ eindeutig ist. Mein Problem ist, dass ich nicht wirklich verstehe, was hier zu zeigen ist. So wie ich das verstanden hätte, muss ich $F$ geschickt definieren, damit die Gleichung $a\left(u_{n}, v_{n}\right)=F\left(v_{n}\right)$ gelöst wird, genau dann, wenn $u_n$ eine Bestapproximation ist. Leider hab ich aber keinen richtigen Ansatz, ich weiß zwar, dass meine Bestapproximation die Orthogonalprojektion sein soll, sehe aber nicht, wie ich das hier einbauen kann. Wäre für einen Tipp sehr dankbar! Lg Axerstein


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AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-21

Huhu Axerstein, Du hast schon einen richtigen Punkt erwähnt. $u_n$ ist die (bzgl. $a$) orthogonale Projektion von $u$ auf $X_n$. Mit diesem Wissen kannst Du $F$ leicht angeben. Für alle $v_n\in X_n$ gilt dann doch $a(u-u_n, v_n) = 0$, somit ist $F(\cdot)=a(u,\cdot)$ sicher keine schlechte Wahl! Im Folgenden nutzt Du noch $\| \cdot \|^2 = a(\cdot, \cdot)$ und die klassischen binomischen Formeln... lg, AK


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Axerstein
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-22

Danke, konnte mit dem Hinweis das Beispiel lösen! Lg Axerstein


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