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Mathematik » Analysis » Limes = Charakteristische Funktion zeigen
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Universität/Hochschule Limes = Charakteristische Funktion zeigen
dendi
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Mitteilungen: 22
  Themenstart: 2021-10-21

Hallo ihr lieben , Ich stecke wiedermal fest, Folgendes sei gegeben : S ist eine abgeschlossene Teilmenge von \IR d_S (x) = inf {|x-s|: s \el\ S} und ist stetig (schon bewiesen) Sei nun f_n (x)= max(0,1-n*d_S (x)) Zeigen Sie, dass lim(n->\inf,f_n (x))=\chi_S (x) \forall\ x \el\ \IR wobei wir \chi_S als die charakteristische Funktion eingefürt hatten Bis jetzt habe ich folgendes: es muss ja sein (weil charakteristische Funktion und so) , dass \chi_S (x) = cases(0,x\notel\ S;1,x\el\ S) Fall 1: x \el\ S => d_S (x) = 0 => f_n (x) = 1 Also x \el\ S => \chi_S (x)= 1 Fall 2: x \notel\ S => d_S > 0 Und hier bin ich mir schon das erste mal unsicher, weil : Wenn S geschlossen, ist \IR \\ S offen , also kann ich für ein infimum ja einen Randpunkt s \el\ S bestimmen und finde immer wieder ein näheres x so dass |x-s|< \epsilon aber dann wäre doch das infimum schlussendlich 0 ? Oder verwechsle ich hier etwas? Das Problem wäre ja dann das es dann dazu führt, dass \chi_s (x) wieder = 1 und wir wollen aber 0 haben Zweite überlegung wäre, wenn ich inf = \epsilon bestimmen könnte : was ist dann n*\epsilon ? Hoffe jemand kann mir schnell weiterhelfen. Vielen Dank LG


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sonnenschein96
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-22

Hallo dendi, Du meinst \(d_S(x) = \inf\{|x-s|:s\in S\}\) und \(f_n(x) = \max(0,1-n\cdot d_S(x))\). Ich kann Deinen Überlegungen leider nicht folgen, aber wenn \(d_S(x)>0\) ist, dann gibt es ein \(n_0\in\mathbb{N}\) mit \(1-n\cdot d_S(x)<0\) für alle \(n\geq n_0\) und damit ist \(f_n(x)=0\) für alle \(n\geq n_0\). Da in diesem Fall auch \(\chi_S(x)=0\) ist, bist Du fertig.


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