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Logik, Mengen & Beweistechnik » Aussagenlogik » Semester 1: Analysis 1 Serie 2
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Universität/Hochschule Semester 1: Analysis 1 Serie 2
einspluseinsistzwei
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  Themenstart: 2021-10-22

Hallo lieber Teilnehmer*innen des Forums, ich bin gerade dabei die neue Übungsserie von Analysis 1 zu bearbeiten und komme direkt bei der ersten Aufgabe nicht weiter. Die Aufgabe lautet: Seien A,B beliebige Mengen in einer Grundmenge X. Beweisen Sie indirekt, dass die Implikation A \subsetequal\ B => B^C \subsetequal\ A^C stets wahr ist. Für mich bedeutet dies, dass ich die Aussage negieren soll und dann beweisen soll, dass die negierte Aussage falsch ist. Wie kann man an eine solche Aufgabe herangehen? Ich habe es bereits mit einer Wahrheitswerttabelle für die wahre Aussage probiert, bekomme aber nichtmal diese hin, obwohl ich da ja weiß, was rauskommen muss... Kann ich dabei überhaupt eine Wahrheitswerttabelle machen? Laut Skript negiere ich eine Implikationen so: \not\ (C=>D) <=> C\and\ \not\ D . Das heißt aus der gegebenen Aussage in der Aufgabe würde folgen: A\subsetequal\ B \and\ \not\ (B^C \subsetequal\ A^C) . Wie negiere ich dann (B^C \subsetequal\ A^C) ? Darf man überhaupt Mengen negieren oder muss ich von Anfang an mit x \el\ A bzw. x \el\ B arbeiten? Es wäre toll, wenn ihr meine Fragen beantworten könntet. Dennoch würde ich diese Aufgabe gerne lösen, ohne das mir jemand die komplette Lösung verrät. :) Ich bedanke mich bei euch und wünsche euch einen schönen Freitagabend.


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-22

\quoteon(2021-10-22 17:55 - einspluseinsistzwei im Themenstart) Wie negiere ich dann (B^C \subsetequal\ A^C) ? Darf man überhaupt Mengen negieren oder muss ich von Anfang an mit x \el\ A bzw. x \el\ B arbeiten? \quoteoff Man kann keine Mengen negieren, aber du kannst die Aussage $B^c\subseteq A^c$ negieren. Diese Negation ist einfach $B^c\not\subseteq A^c$, und das bedeutet, dass ein $x\in B^c$ mit $x\notin A^c$ existiert. Wenn man die Definition von $A^c$ und $B^c$ heranzieht, ist das gleichbedeutend mit $x\notin B$ und $x\in A$. Hieraus jetzt $A\not\subseteq B$ zu folgern, sollte einfach sein. --zippy


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FibreBundle
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-10-22

Willkommen auf dem Matheplaneten! Ich nehme mal an, dass 'indirekter Beweis' hier Widerspruchsbeweis heißt. Bei einem Widerspruchsbeweis einer Aussabe $C\Rightarrow D$ nimmt man $C\wedge \neg D$ an und versucht daraus einen Widerspruch zu erzeugen. Das bedeutet, dass du aus $\neg(B^C\subseteq A^C)$ und aus $A\subseteq B$ einen Widerspruch konstruieren musst. Schreibt dir die Negation mit Hilfe der Definition von $\subseteq$ auf. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-22

\quoteon(2021-10-22 18:28 - FibreBundle in Beitrag No. 2) Ich nehme mal an, dass 'indirekter Beweis' hier Widerspruchsbeweis heißt. Bei einem Widerspruchsbeweis einer Aussabe $C\Rightarrow D$ nimmt man $C\wedge \neg D$ an und versucht daraus einen Widerspruch zu erzeugen. \quoteoff Ein indirekter Beweis der Aussage $C\Rightarrow D$ ist ein kein Widerspruchsbeweis, sondern ein Beweis von $\lnot D\Rightarrow\lnot C$.


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FibreBundle
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-22

Uppsi! Danke für die Korrektur. :)


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einspluseinsistzwei hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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