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 Symmetrie und verschwindende Extrema der echten Variation unklar |
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Alif
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Mitteilungen: 208
Wohnort: Deutschland
 |  Themenstart: 2021-10-22
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Hallo zusammen,
ich habe die Definition für eine echte Variation folgendermaßen gegeben:
\(Sei \ \alpha : [0,1] \rightarrow M \ eine \ stückweise \ differenzierbare \ Kurve \ mit \ einer \ Unterteilung \ t_0 = 0 < t_1 < \ldots < t_k = 1. \ Eine \ echte \ Variation \ von \ \alpha \ ist \ eine \ stetige \ Abbildung \ f : [0,1] \times (-\epsilon,\epsilon) \rightarrow M \ für \ ein \ \epsilon > 0, \ sodass \\
1) \ f|_{[t_{i-1},t_i] \times (-\epsilon,\epsilon)} \ ist \ differenzierbar \ \forall i = 1, \ldots, k.\\
2) \ f(t,0) = \alpha(t), \ \forall t \in [0,1].\\
3) \ f(0,u) = a \ und \ f(1,u) = b.\)
Im weiteren Text heißt es aber, dass \(\frac{\partial f}{\partial u}(0,u) = \frac{\partial f}{\partial u}(1,u) = 0 \ und \ \frac{D}{dt} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{D}{du} \frac{\partial f}{\partial t}\) offensichtlich sind, ich verstehe aber nicht so wirklich warum und bin mir unsicher.
Ich vermute, dass es bei der ersten Gleichung etwas mit 3) aus der Definition zu tun hat und bei der zweiten Gleichung ist sogar angegeben, dass ich es in lokalen Koordinaten nachrechnen soll, ich weiß aber nicht, wie ich es in lokalen Koordinaten aufschreiben muss, da ich soweit nur die Geodätengleichung in lokalen Koordinaten gegeben habe.
Könnte mir dabei bitte jemand weiterhelfen?
Danke schonmal für jede hilfreiche Antwort.
Schöne Grüße
Alif
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zippy
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-22
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\quoteon(2021-10-22 21:59 - Alif im Themenstart)
Ich vermute, dass es bei der ersten Gleichung etwas mit 3) aus der Definition zu tun
\quoteoff
Das ist richtig, denn du musst ja nur die beiden Seiten von $f(0,u)=a$ und $f(1,u)=b$ nach $u$ differenzieren.
--zippy
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Alif
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23
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Danke für die Bestätigung, ist aber eigentlich logisch, da a und b Konstanten sind und wenn ich diese Ableite kommt immer Null heraus.
Wie sieht es mit der zweiten Gleichung aus? Sollten in diesem Text einfach lokale Koordinaten fehlen, wäre ich froh, wenn mir das jemand erklärt.
Ich verstehe aber auch, wenn da niemand einen Tipp hat, da die Koordinaten fehlen. Danke dennoch für jede Hilfe, die ich bekomme.
Schöne Grüße
Alif
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zippy
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-23
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\quoteon(2021-10-23 15:04 - Alif in Beitrag No. 2)
Wie sieht es mit der zweiten Gleichung aus?
\quoteoff
Was soll denn ${D\over du}$ bedeuten?
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Alif
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23
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Ich vermute, das war ein Tippfehler von mir, es sollte eigentlich \(\frac{D}{\partial u}\) heißen und müsste eine partielle Ableitung von \(f\) sein. Was es genau bedeutet überlege ich gerade, es scheint aber etwas mit dem Levi-Civita-Zusammenhang zu tun zu haben und besagte Gleichung wird unter anderem im Beweis der ersten Variationsgleichung verwendet. Ich hoffe, dass das soweit hilft und wenn nicht, kläre ich es eben doch erst nächste Woche an der Universität. Danke dir aber jedenfalls, solltest du noch eine Idee haben.
Schöne Grüße
Alif
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zippy
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-23
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\quoteon(2021-10-23 15:53 - Alif in Beitrag No. 4)
es scheint aber etwas mit dem Levi-Civita-Zusammenhang zu tun zu haben
\quoteoff
Ja, es ist wohl die kovariante Ableitung in Richtung der Kurve $u\mapsto f(t,u)$. Dass Ausrechnen in lokalen Koordinaten liefert dann$$
{\mathrm D\over\mathrm dt}{\partial f^i\over\partial u} =
{\partial^2f^i\over\partial t\,\partial u}+\Gamma^i_{jk}
{\partial f^j\over\partial u}{\partial f^k\over\partial t} \\[3ex]
{\mathrm D\over\mathrm du}{\partial f^i\over\partial t} =
{\partial^2f^i\over\partial u\,\partial t}+\Gamma^i_{jk}
{\partial f^j\over\partial t}{\partial f^k\over\partial u} \;,
$$und wenn $f$ genügend glatt ist (im Startbeitrag war $f$ nur als differenzierbar vorausgesetzt, das erscheint mir zu wenig) stimmt beides überein.
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Alif
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23
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Danke dir, auf eine Ähnliche Formel bin ich im Laufe des Abends auch noch gekommen:
\(\frac{D}{\partial u} \frac{\partial f}{\partial t} = \sum\limits_{k=1}^n [ \frac{\partial^2(x_k \circ f)}{\partial u \partial t} + \sum\limits_{i,j=1}^n \frac{\partial (x_i \circ f)}{\partial t} \frac{\partial (x_j \circ f)}{\partial u} (\Gamma_{ij}^k \circ f) ] (\frac{\partial}{\partial x_k})_f \\
\frac{D}{\partial t} \frac{\partial f}{\partial u} = \sum\limits_{k=1}^n [ \frac{\partial^2(x_k \circ f)}{\partial u \partial t} + \sum\limits_{i,j=1}^n \frac{\partial (x_j \circ f)}{\partial t} \frac{\partial (x_i \circ f)}{\partial u} (\Gamma_{ji}^k \circ f) ] (\frac{\partial}{\partial x_k})_f\)
Zudem scheint es sowieso, dass die Ausdrücke differenzierbar und glatt in dem Skript sozusagen analog verwendet werden. Nun muss ich mir nur noch überlegen, was ich in lokalen Koordinaten angeben sollte, damit das in meinem Text besser klar wird. Dazu noch eine Frage, was genau ist die kovariante Ableitung?
Schöne Grüße
Alif
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Alif
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25
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Also die Sache ist inzwischen klar, denn der Beweis folgt dann, weil gilt \(\Gamma_{ij}^k = \Gamma_{ji}^k\), wie ich bereits vor etwa vier Jahren in der Einführung zur Geometrie gelernt habe.
Damit ein Leser sich den Beweis dann auch selbst basteln kann, wenn er meinen Text liest (nicht das Skript, das ich benutze) sollten auf jeden Fall differenzierbare Vektorfelder, Riemannsche Metriken, Levi-Civita-Zusammenhang, parallele Vektorfelder, Geodäten und echte Variationen mit lokalen Versionen definiert werden.
Das Problem hat sich dann auch soweit erledigt, wäre nur schön, wenn mir wie erwähnt noch erklärt wird, was eine kovariante Ableitung ist, denn leider wird dieser Begriff im Skript, das ich verwende, nicht genannt.
Danke für eine letzte kurze Rückmeldung.
Schöne Grüße
Alif
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