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Analysis » Funktionentheorie » Casorati-Weierstraß - wesentliche Singularität
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Universität/Hochschule J Casorati-Weierstraß - wesentliche Singularität
nitram999
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  Themenstart: 2021-10-23

Hallo ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: Sei f eine holomorphe Funktion auf U_2 (0)\\{0} mit f(1/n)=1/n und f(i/n)=0 für alle n\el\ \IN. Zeige: Es gibt eine Folge ((z_n))_n in U_2 (0)\\{0} mit lim(n->\inf,z_n)=0 und lim(n->\inf,f(z_n)/z_n)=207. Ich habe bereits mit den Eigenschaften von f gezeigt, dass f in z=0 eine wesentliche Singularität hat. Mit dem Satz von Casorati-Weierstraß gilt dann: Für jedes w\el\ \IC gibt es eine Folge ((z_n))_n in U_2 (0)\\{0}, sodass lim(n->\inf,z_n)=0 und lim(n->\inf,f(z_n))=w. Wählt man nun w=207, so gibt es eine Folge ((z_n))_n in U_2 (0)\\{0}, sodass lim(n->\inf,z_n)=0 und lim(n->\inf,f(z_n))=207 In der Aufgabe wird im Limes jedoch noch einmal durch die Folge geteilt. In diesem Fall ist dies ja eine Nullfolge, daher weiß ich nicht genau, wie man hier weitermachen kann. Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Vielen dank schon mal!


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-23

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, betrachte $$ g\colon U_2(0)\setminus\lbrace 0\rbrace \to \mathbb C, \ g(z)=\frac{f(z)}{z}. $$ $g$ ist dann holomorph mit einer isolierten Singularität in $0$. Kannst du begründen, dass die Singularität von $g$ wesentlich ist? LG Nico [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionentheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)


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nitram999
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23

Ah richtig gute Idee, danke Nico! Dass g in z=0 eine wesentliche Singularität hat, würde ich über die Laurentreihe begründen, denn auch bei g sind offensichtlich unendlich viele a_k mit k<0 ungleich Null. Und dann kann man natürlich Casorati-Weierstraß auf g anwenden. Passt das so?


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-23

Hallo, Genau. LG Nico


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nitram999
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23

Vielen Dank! Viele Grüße nitram999


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