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Mathematik » Analysis » Ganzzahlige Funktion konstant
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Universität/Hochschule J Ganzzahlige Funktion konstant
Cyborg
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  Themenstart: 2021-10-24

Hallo! Ich brauche nochmal eure Hilfe: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_1_hilfe.jpg Warum ist die ganzzahlige Funktion \(n(p)\) für alle \(p\) gleich??? Es soll aus \(|\theta(p_1)-\theta(p_2)|<\frac{\pi}{2}\) folgen. Danke euch.


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Cyborg
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Mal angenommen, es gäbe \(p_1,p_2\) mit \(n(p_1)\neq n(p_2)\), dann gelte doch \(|n(p_1)\cdot\pi-n(p_2)\cdot\pi|\ge\pi\) und weiter?


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-10-24

Du hast vermutlich Eigenschaften von $\gamma(p)$ unterschlagen, die dazu führen, dass $p\mapsto\arctan(\gamma_2(p)/\gamma_1(p))$ stetig ist. Wenn $p\mapsto n(p)$ nicht konstant wäre, gäbe es einen Punkt $q$ und eine Folge $(q_k)\to q$ mit $n(q_k)\ne n(q)$. Aufgrund der Stetigkeit von $p\mapsto\arctan(\gamma_2(p)/\gamma_1(p))$ wäre $|\theta(q_k)-\theta(q)|>\pi/2$ für ein hinreichend großes $k$. --zippy [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Cyborg
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Ja, da wäre ich jetzt nicht drauf gekommen. Wie gut, dass ich Euch habe. 🙂 Sicher, dass das nicht einfacher zu sehen ist?


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Cyborg
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Hallo, zippy! Eine letzte wichtige Frage habe ich noch, dann habe ich alles zusammen: Kann das sein, dass man statt \(\pi\cdot n(p)\) eigentlich \(2\pi\cdot n(p)\) schreiben muss????? Denn: \(\gamma\) liege doch im rechten Quadranten und \(+\pi\) würde heißen, dass man den gegenüberliegenden Punkt betrachtet, also NICHT im rechten Quadranten!


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-24

\quoteon(2021-10-24 12:40 - Cyborg in Beitrag No. 4) Kann das sein, dass man statt \(\pi\cdot n(p)\) eigentlich \(2\pi\cdot n(p)\) schreiben muss????? \quoteoff Nein, es geht hier um die Periode des Tangens, und die ist $\pi$.


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Cyborg
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Entschuldigung, dass ich ein bisschen begriffsstutzig bin. \quoteon(2021-10-24 12:40 - Cyborg in Beitrag No. 4) Denn: \(\gamma\) liege doch im rechten Quadranten und \(+\pi\) würde heißen, dass man den gegenüberliegenden Punkt betrachtet, also NICHT im rechten Quadranten! \quoteoff Ich weiß, du meinst: \(\tan\left(\arctan\left(\dfrac{\gamma_1(p)}{\gamma_2(p)}\right)+n(p)\cdot\pi\right)=\tan\left(\arctan\left(\dfrac{\gamma_1(p)}{\gamma_2(p)}\right)\right)=\dfrac{\gamma_1(p)}{\gamma_2(p)}\) Aber hier lese ich: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_hhhh.jpg Also unter der Voraussetzung (!!), dass man im rechten Quadranten ist, muss doch \(2\pi\) genommen werden???! 🙄


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Cyborg
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Ich stütze mich da auch auf folgendem: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_gggg.jpg


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zippy
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-24

Ich verstehe nicht so recht, worauf du hinauswillst. Kann es sein, dass du die folgenden beiden Dinge durcheinander wirfst? 1. Man hat einen Punkt $(x,y)$ auf dem Einheitkreis und fragt nach den Winkeln $\theta$, für die $(x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)$ gilt. Diese Winkel unterscheiden sich durch Vielfache von $2\pi$. 2. Man betrachtet einen dieser Winkel $\theta$ und fragt sich, wie der mit dem Arcustangens $\arctan(y/x)$ zusammenhängt und stellt fest, dass sich $\theta$ und $\arctan(y/x)$ um ein Vielfaches von $\pi$ unterscheiden.


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Cyborg
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Ja, das ist der feine Unterschied! Toll, dass du mir geholfen hast!! 😃


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Cyborg
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Ich verstehe es doch immer noch nicht: Wenn man fragt für welche \(\theta\) gilt \(\tan(\theta)=\dfrac{\gamma_2}{\gamma_1}\), dann kann man sagen, dass die Lösungsmenge genau durch \(\theta=\arctan(\gamma_2/\gamma_1)+k\cdot\pi\) mit \(k\in\mathbb{Z}\) gegeben ist. Nun weiß man aber, dass \(\gamma=(\gamma_1,\gamma_2)\) in den beiden rechten Quadranten ist. Das heißt, dass \(\theta\in(-\pi/2,\pi/2)\). Mal angenommen \(\gamma=(0,1)\), dann ist \(0=\arctan(0/1)=\theta\). Nun wäre \(\theta+1\cdot\pi=\pi\) aber in den beiden linken Quadranten! Auch der Beweis, dass es keine \(p_1,p_2\) mit \(n(p_1)\neq n(p_2)\) geben darf wäre einfach: \(|\theta(p_1)-\theta(p_2)|=\left|\arctan(\gamma_2(p_1)/\gamma_1(p_1))-\arctan(\gamma_2(p_2)/\gamma_1(p_2))+(n(p_1)-n(p_2))\cdot 2\pi\right|\). Wegen \(\arctan(\gamma_2(p_1)/\gamma_1(p_1))-\arctan(\gamma_2(p_2)/\gamma_1(p_2))\in[-\pi,\pi]\) und wegen \(n(p_1)-n(p_2)\neq0\), wäre klar, dass dann \(|\theta(p_1)-\theta(p_2)|\ge\pi\) gilt. Also muss man die Lösungsmenge \(\theta=\arctan(\gamma_2/\gamma_1)+k\cdot\pi\) einschränken dürfen auf \(k\) ist gerade???! Ich hoffe, du bist mir nicht böse, zippy. 🙄


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Cyborg
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

* hochschieb *


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zippy
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-10-25

\quoteon(2021-10-24 12:40 - Cyborg in Beitrag No. 4) Kann das sein, dass man statt \(\pi\cdot n(p)\) eigentlich \(2\pi\cdot n(p)\) schreiben muss????? \quoteoff Man muss es sicherlich nicht, da der Beweis ja auch ohne diese Änderung problemlos funktioniert. \quoteon(2021-10-24 18:14 - Cyborg in Beitrag No. 10) Also muss man die Lösungsmenge \(\theta=\arctan(\gamma_2/\gamma_1)+k\cdot\pi\) einschränken dürfen auf \(k\) ist gerade???! \quoteoff Allerdings darfst du es natürlich. Es ist aber halt nicht der Weg, der in dem von dir verlinkten Foliensatz steht. Darauf, dass das $\pi\,n(p)$ in dem Foliensatz "gar nicht so gemeint ist", gibt es auch in dem Video zur dieser Vorlesung keinen Hinweis.


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Cyborg
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25

Hallo, zippy! Ich habe mal den Professor Vladimir Matveev telefonisch angerufen, der diese Folie als Vorlesung gehalten hat: Er hat gesagt, dass ich recht habe. \(+\pi\mod2\pi\) würde heißen, dass \(\theta\) im gegenüberliegenden Quadranten liege würde, obwohl man ein Satz vorher gesagt hat, dass man Punkte in den beiden rechten Quadranten betrachten möchte.


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Cyborg hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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