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Mathematik » Strukturen und Algebra » ZPE Ring
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Universität/Hochschule ZPE Ring
NffN1
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  Themenstart: 2021-10-24

Guten Tag, ich soll zeigen ob $\mathbb{C[x,y]}/$ ein ZPE Ring ist. Ich tue mich ziemlich schwer damit. Wie würde man da am besten vorgehen. MfG, Noah


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Tipp: $\CC[x,y]/\langle x^2+y \rangle \cong \CC[x]$. P.S.: Man schreibt \langle, \rangle in LaTeX.\(\endgroup\)


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NffN1
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Und weil $\mathbb{C}[x]$ ein Hauptidealring ist, ist es auch $\mathbb{C}[x,y]/\langle x^2+y\rangle$ und somit auch ZPE Ring, richtig? Aber wie zeigt man überhaupt die Isomorphie? Müsste dann nicht nach dem Homomorphiesatz $x^2+y \subseteq ker(f)$ mit $f: \mathbb{C}[x,y]->\mathbb{C}[x]$?


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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) \quoteon(2021-10-24 14:38 - NffN1 in Beitrag No. 2) Und weil $\mathbb{C}[x]$ ein Hauptidealring ist, ist es auch $\mathbb{C}[x,y]/\langle x^2+y\rangle$ und somit auch ZPE Ring, richtig? \quoteoff Ja. \quoteon(2021-10-24 14:38 - NffN1 in Beitrag No. 2) Aber wie zeigt man überhaupt die Isomorphie? Müsste dann nicht nach dem Homomorphiesatz $x^2+y \subseteq ker(f)$ mit $f: \mathbb{C}[x,y]->\mathbb{C}[x]$? \quoteoff Homomorphiesatz ist das richtige Stichwort. Versuche damit einen Isomorphismus zu konstruieren. P.S.: Man schreibt \ker für $\ker$ und \to für $\to$.\(\endgroup\)


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NffN1
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Aber Moment. Ich merke gerade, dass es in der vorherigen Aufgabe drum ging zu zeigen, dass $\mathbb{C}[x,y]/\langle x^2+y\rangle$ eben KEIN Hauptidealring ist.


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Kezer
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-24

Dann ist entweder die vorherige Aufgabe falsch oder du hast dich irgendwo verlesen.


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NffN1
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Was wäre dann eine passende Funktion um zu zeigen, dass beide Isomorph sind? Ich finde keine.


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Kezer
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) $\CC[x,y] \to \CC[x], \ x \mapsto x, \ y \mapsto -x^2$.\(\endgroup\)


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NffN1
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Hmm, also $f(p(x,y))=p(x,-x^2)$. Aber wie zeigt man, dass das ein Homomorphismus ist? Muss man die allgemeine Form eines Polynomen in zwei Variablen benutzen? Oder gibts eine weniger umständlichere Methode?


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zippy
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-24

\quoteon(2021-10-24 17:47 - NffN1 in Beitrag No. 8) Aber wie zeigt man, dass das ein Homomorphismus ist? \quoteoff Stichwort: Einsetzungshomomorphismus


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Kezer
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-10-24

Oder auch: Universelle Eigenschaft von Polynomringen/freien Algebren.


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NffN1
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Okay, super. Danke für die Hilfe :)


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