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Mathematik » Topologie » C_0(X,R) ist abgeschlossen in C_b(X,R)
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Universität/Hochschule J C_0(X,R) ist abgeschlossen in C_b(X,R)
Schnubelub
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  Themenstart: 2021-10-24

Hallo, ich stecke gerade bei folgender Aufgabe: Sei (X,T) ein beliebiger topologischer Raum. Zeige, dass C_0(X,\IR) ein abgeschlossener Unterraum von C_b(X,\IR) ist. Zur Notation: C_0(X,\IR) sind die Menge aller im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen. Zu zeigen, dass C_0(X,\IR) ein linearer Unterraum von C_b(X,\IR) war relativ straightforward. Bei der Abgeschlossenheit stehe ich ein wenig am Schlauch: Ich frage mich hier, wie die Konvergenz einer Folge in C_0(X,\IR) aussieht. X muss ja nicht zwingend Hausdorffsch sein, folglich kann man C_0(X,\IR) nicht einfach mit der Supremumsnorm versehen, um einem normierten Raum zu erhalten. Wie kann ich also am Besten C_0(X,\IR) zu einem topoligischen Raum, normierten Raum oder Banachraum machen um über Konvergenz reden zu können? Oder ist es trivial wie hier die Konvergenz aussieht? Danke für eure Tipps und Hinweise! Viele Grüße.


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sonnenschein96
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-24

Hallo Schnubelub, was spricht denn dagegen, die Supremumsnorm zu verwenden, auch wenn \(X\) kein Hausdorffraum ist? Ich sehe das Problem gerade irgendwie nicht. Um zu zeigen, dass \(C_0(X,\mathbb{R})\) eine Teilmenge von \(C_b(X,\mathbb{R})\) ist, benötigst Du nur die Tatsache, dass stetige reellwertige Funktionen auf kompakten Mengen beschränkt sind. Die Hausdorff-Eigenschaft brauchst Du dafür denke ich nicht.


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Schnubelub
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Hallo Sonnenschein, danke für die Antwort. Meine Bedenken haben sich schon alle geklärt. \(C_b(X,\mathbb{R})\) ist ja für jede nichtleere Menge X versehen mit der Supremumsnorm ein Banachraum. Somit ist eh klar, dass ich \(C_0(X,\mathbb{R})\) einfach mit der Supremumsnorm versehen kann um die Abgeschlossenheit zu zeigen. Danke für deine schnelle Antwort und viele Grüße!


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sonnenschein96
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-24

\quoteon(2021-10-24 16:43 - Schnubelub in Beitrag No. 2) \(C_b(X,\mathbb{R})\) ist ja für jede nichtleere Menge X versehen mit der Supremumsnorm ein Banachraum. \quoteoff Naja ein topologischer Raum sollte \(X\) schon sein, sonst macht es keinen Sinn von Stetigkeit zu sprechen.


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Schnubelub
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

ja genau, da hast du natürlich Recht!


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