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Mathematik » Analysis » Summe von suprema = supremum der Summe
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Universität/Hochschule J Summe von suprema = supremum der Summe
Mathler
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  Themenstart: 2021-10-24

Hallo Matheplanet, beim bearbeiten einer Übungsaufgabe bin ich auf folgende Frage gestoßen: Gilt im Allgemeinen folgende Gleichung? \(\sum_{i=1}^{\inf}sup({x:x\in A_i})=sup( \sum_{i=1}^{\inf} x : x\in A_i ) \) ? Ich weiß ja das es für endlich viele gilt also \(sup(A+B)=sup(A)+sup(B)\) aber gilt es auch für unendlich viele? Wäre das ein einfacher Induktionsbeweis oder klappt das nicht, bzw. wann würde es denn klappen? LG Mathler


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-24

\quoteon(2021-10-24 15:42 - Mathler im Themenstart) Gilt im Allgemeinen folgende Gleichung? \(\sum_{i=1}^{\inf}sup({x:x\in A_i})=sup( \sum_{i=1}^{\inf} x : x\in A_i ) \) ? \quoteoff Hallo Mathler, die Bedeutung von \(\sup( \sum_{i=1}^{\infty} x : x\in A_i )\) erschleißt sich mir noch nicht. (Übrigens ist der Latex-Code für \(\infty\) \infty.)


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-10-24

\quoteon(2021-10-24 15:52 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1) die Bedeutung von \(\sup( \sum_{i=1}^{\infty} x : x\in A_i )\) erschleißt sich mir noch nicht. \quoteoff Gemeint ist: $\sup\bigl\{\sum_{i=1}^\infty x_i:x_i\in A_i\bigr\}$.


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-24

Wenn wir mal annehmen, dass $A_i\ge0$ für alle $i$ ist, um uns auf absolute Konvergenz beschränken zu können, ist die linke Seite offensichtlich eine obere Schranke der rechten. Und mit der Wahl von $x_i\in A_i$ mit $x_i\ge\sup A_i-\varepsilon/2^i$ und $\varepsilon\to0$ kann man die umgekehrte Richtung zeigen.


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Mathler
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Hallo Zippy, danke erstmal für die Antwort, was mich jedoch stutzig macht ist, dass die Aussage ja auf die Frage hinaus läuft: \(\sum_{i=1}^{\infty}sup({x_i:x_i \in A_i})=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}sup({x_i : x_i \in A_i})= \lim_{n \to \infty} sup({\sum_{i=1}^{n} x_i : x_i \in A_i}) =sup( \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} x_i : x_i \in A_i ) \) Also auf den tausch von limes und supremum und das gilt ja nicht immer :/ Das einzige was ich weiß ist, dass \(sup({x_i:x_i \in A_i})>=0\) Könnte ich dann deine Beweisidee so adaptieren das es für mein bsp auch geht, ich habe zwar nicht das \(A_i>=0\), jedoch weiß ich \(sup({x_i:x_i \in A_i})>=0\) Vielen Dank! LG Mathler


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-24

\quoteon(2021-10-24 17:09 - Mathler in Beitrag No. 4) jedoch weiß ich \(sup({x_i:x_i \in A_i})>=0\) \quoteoff Wenn man nicht mehr weiß, ist nicht klar, ob alle Reihen $\sum_{i=1}^\infty x_i$ für $x_i\in A_i$ gegen einen endlichen Wert oder gegen $\infty$ konvergieren. Folglich ergibt der Ausdruck $\sup\bigl\{\sum_{i=1}^\infty x_i:x_i\in A_i\bigr\}$ erstmal keinen Sinn mehr. Bevor wir versuchen, dieses Problem durch Einschränkung auf konvergente oder absolut konvergente Reihen zu umgehen, würde ich aber gern die Aufgabe sehen, aus der sich diese Fragestellung ergeben hat.


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Mathler
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

\quoteon(2021-10-24 18:07 - zippy in Beitrag No. 5) \quoteon(2021-10-24 17:09 - Mathler in Beitrag No. 4) jedoch weiß ich \(sup({x_i:x_i \in A_i})>=0\) \quoteoff Wenn man nicht mehr weiß, ist nicht klar, ob alle Reihen $\sum_{i=1}^\infty x_i$ für $x_i\in A_i$ gegen einen endlichen Wert oder gegen $\infty$ konvergieren. Folglich ergibt der Ausdruck $\sup\bigl\{\sum_{i=1}^\infty x_i:x_i\in A_i\bigr\}$ erstmal keinen Sinn mehr. Bevor wir versuchen, dieses Problem durch Einschränkung auf konvergente oder absolut konvergente Reihen zu umgehen, würde ich aber gern die Aufgabe sehen, aus der sich diese Fragestellung ergeben hat. \quoteoff Es ergab sich aus folgender Fragestellung: $\mu$ sei eine sigmaadditive Funktion auf dem Ring $\mathcal{R}$ ist, dann ist $\widetilde{\mu}$=$sup${$\mu(B):B \subseteq A, B \in \mathcal{R}$} ein Maß auf $\mathcal{R}$ Es bleibt zu zeigen das $\widetilde{\mu}$ sigmaadditiv ist. also $\widetilde{\mu}(\cup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}\widetilde{\mu}(A_i)$ Nun ist $\widetilde{\mu}( \cup_{i=1}^{\infty}A_i )=sup${$ \sum_{i=1}^{\infty} \mu (B \cap A_i): B \subseteq \cup_{i=1}^{\infty}A_i : B \in \mathcal{R} $} nun wollte ich die Summe aus dem supremum ziehen um $\sum_{i=1}^{\infty} sup${$ \mu(B \cap A_i): B \subseteq \cup_{i=1}^{\infty}A_i : B \in \mathcal{R} $} zu erhalten LG Mathler


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-24

Da hier die Bezeichnung $A_i$ für einen anderen Zweck verwendet wird, nenne ich die $A_i$ aus den Beiträgen 1 bis 5 mal $S_i$. In der betrachteten Fragestellung halten einem die Eigenschaften von $\mu$ alle Probleme vom Hals: 1. Aufgrund der $\sigma$-Additivität konvergieren alle Reihen in $\bigl\{\sum_{i=1}^\infty x_i:x_i\in S_i\bigr\}$. 2. Wegen $\emptyset\in\mathcal R$ und $\mu(\emptyset)=0$ ist $0\in S_i$. Man kann daher $x_i$ mit $x_i\ge\max\{0,\sup S_i-\varepsilon/2^i\}$ wählen.


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Mathler
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25

\quoteon(2021-10-24 19:58 - zippy in Beitrag No. 7) Da hier die Bezeichnung $A_i$ für einen anderen Zweck verwendet wird, nenne ich die $A_i$ aus den Beiträgen 1 bis 5 mal $S_i$. In der betrachteten Fragestellung halten einem die Eigenschaften von $\mu$ alle Probleme vom Hals: 1. Aufgrund der $\sigma$-Additivität konvergieren alle Reihen in $\bigl\{\sum_{i=1}^\infty x_i:x_i\in S_i\bigr\}$. 2. Wegen $\emptyset\in\mathcal R$ und $\mu(\emptyset)=0$ ist $0\in S_i$. Man kann daher $x_i$ mit $x_i\ge\max\{0,\sup S_i-\varepsilon/2^i\}$ wählen. \quoteoff Hallo Zippy, bzgl. 1) Warum müssen die Reihen dann alle konvergieren? Ich weiß ja nur, dass $Im(\mu)=(-\infty,\infty]$ oder $Im(\mu)=[-\infty,\infty)$ ($\sigma -Additivität$), ich weiß aber nicht das $\forall s \in \bigl\{\sum_{i=1}^\infty x_i:x_i\in S_i\bigr\}:s<\infty$ oder doch? Der zweite teil mit der Abschätzung ist mir klar LG


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zippy
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-25

\quoteon(2021-10-25 10:20 - Mathler in Beitrag No. 8) ich weiß aber nicht das $\forall s \in \bigl\{\sum_{i=1}^\infty x_i:x_i\in S_i\bigr\}:s<\infty$ oder doch? \quoteoff Es geht nicht darum, die Konvergenz gegen $\infty$ auszuschließen, sondern den Fall, dass eine Reihe gar nicht konvergiert. Dieser "Reihe konvergiert gar nicht"-Fall ist der, der beim Verzicht auf die Voraussetzung $S_i\ge0$ hinzukommen könnte.


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25

\quoteon(2021-10-25 12:10 - zippy in Beitrag No. 9) Es geht nicht darum, die Konvergenz gegen $\infty$ auszuschließen, sondern den Fall, dass eine Reihe gar nicht konvergiert. Dieser "Reihe konvergiert gar nicht"-Fall ist der, der beim Verzicht auf die Voraussetzung $S_i\ge0$ hinzukommen könnte. \quoteoff Achsoo, jetzt hab ich verstanden, danke für deine Hilfe, du hast mir wirklich sehr geholfen, nicht nur beim lösen sondern auch was das Verständnis angeht! LG Mathler


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