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Mathematik » Analysis » Implizite Funktion
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Universität/Hochschule J Implizite Funktion
mathescience
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  Themenstart: 2021-10-24

Hallo, ich versuche gerade eine Aufgabe zu bearbeiten sitze schon seit Stunden dran verstehe das aber leider noch nicht so ganz.Die Aufgabe lautet : Bestimmen Sie die Punkte (x, y) auf der die Gleichung F(x,y)=2(x^4 +2x^2y^2)−5x^3y+2x^2 =0 durch den Satz über die implizite Funktion eine Kurve y = φ(x) oder x = ψ(y) definiert und für die die Tangenten an diese Kurven parallel zur x-Achse bzw. y-Achse liegen. Also ich muss mit der impliziten Funktion arbeiten, wenn ich richtig liege, deshalb würde ich dann erstmal die partiellen Ableitungen bilden und gucken ob es ungleich oder gleich 0 ist. Habe ich eig auch so gemacht nur ich bekommen dann bei der partiellen Ableitung nach y, 8y=5x raus und weiß nicht was ich damit anfangen soll und was das mit der Parallelen zu tun hat . Brauche unbedingt eure Hilfe, um diese Aufgabe zu verstehen. Danke im Voraus !


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-24

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, es ist also $F(x,y)=2(x^4+2x^2y^2)-5x^3y+2x^2$. Dann haben wir $$ \frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=8x^3+8xy^2-15x^2y+4x $$ und $$ \frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=8x^2y-5x^3. $$ Betrachten wir den Fall, dass wir nach $y$ auflösen wollen, also $y=\varphi(x)$. Das geht genau dann lokal um einen Punkt $(x_0,y_0)$ wenn $\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0$. Nun haben wir $$ 0=\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=8x^2y-5x^3 \ \Longleftrightarrow \ x^2(8y-5x)=0. $$ Es darf also schonmal nicht $x_0=0$ sein. Ist $x\neq 0$ so folgt wie du sagst $8y=5x$ also $y=\frac{5}{8}x$. Für alle Punkte $(x_0,y_0)$ mit $x_0\neq 0$ und $y_0\neq \frac{5}{8}x_0$ können wir die Gleichung $F(x,y)=0$ also lokal um $(x_0,y_0)$ nach $y$ auflösen, also in der Form $y=\varphi(x)$ schreiben, wenn zusätzlich $F(x_0,y_0)=0$ gilt. Jetzt musst du noch schauen wie $\varphi'(x_0)$ in solchen Punkten aussieht und wann dann $\varphi'(x_0)=0$ gilt. Wenn man nach $x$ auflösen will geht das natürlich sehr ähnlich. LG Nico\(\endgroup\)


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mathescience
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Okey vielen Dank habe es jetzt besser verstanden. Also muss ich jetzt die partielle Ableitung nach x durch die partielle Ableitung nach y mit minus davor rechnen und gleich null setzten und gucken was da rauskommt ?


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-24

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, wenn du dir nicht sicher bist wie die Ableitung solch einer Funktion aussieht, dann überlege dir das doch zunächst, bevor du blind irgendwelche Dinge tust. Du tust dir dabei denke ich leichter, wenn du die Frage in ein allgemeineres Setting packst: Wir haben eine stetig differenzierbare Funktion $F\colon \mathbb R^n\times \mathbb R^m \to \mathbb R^m$, einen Punkt $(x_0,y_0)\in \mathbb R^n\times \mathbb R^m$ mit $F(x_0,y_0)=0$ und die Abbildung $D_yF(x_0,y_0)\colon \mathbb R^m\to \mathbb R^m$ sei invertierbar. Damit ist die lineare Abbildung gemeint, deren darstellende Matrix bezüglich der kanonischen Basis von $\mathbb R^m$ die partiellen Ableitungen von $F$ nach den $y$-Variablen als Einträge hat. Dann gibt es nach dem Satz über implizite Funktionen offene Umgebungen $U_{x_0}\subseteq \mathbb R^n$ von $x_0$ sowie $V_{y_0}\subseteq \mathbb R^m$ von $y_0$ und eine stetig differenzierbare Abbildung $\varphi\colon U_{x_0}\to V_{y_0}$ derart, dass für alle $(x,y)\in U_{x_0}\times V_{y_0}$ gilt: $$ F(x,y)=0 \ \Longleftrightarrow \ y=\varphi(x). $$ Nun gilt also für alle $x\in U_{x_0}$ $$ F(x,\varphi(x))=0 $$ und daher $$ DF(x,\varphi(x))=0. $$ Nun wende die Kettenregel an, setze $x_0$ ein und löse nach $D\varphi(x_0)$ auf. LG Nico\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-24

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-10-24 18:00 - mathescience in Beitrag No. 2) Okey vielen Dank habe es jetzt besser verstanden. Also muss ich jetzt die partielle Ableitung nach x durch die partielle Ableitung nach y mit minus davor rechnen und gleich null setzten und gucken was da rauskommt ? \quoteoff Abgesehen davon solltest du vorher auch überhaupt schauen welche Punkte $(x_0,y_0)$ überhaupt $F(x_0,y_0)=0$ erfüllen. LG Nico\(\endgroup\)


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