Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Mathematik » Analysis » signiertes Maß integrieren
Autor
Universität/Hochschule J signiertes Maß integrieren
Mathler
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2020
Mitteilungen: 53
Wohnort: Österreich
  Themenstart: 2021-10-25

Heyho Matheplanet, ich sitz aktuell an einer (unter gewissen Vorraussetzungen) nicht so schwierigen Aufgabe und würde gerne wissen ob man dieses Beispiel so löst, wie ich es vorhabe: ------------- Sei $\mu$ ein signiertes Maß ist mit $\mu$( ($-\infty,x$] )=$e^{2x}-e^{x}$ ich soll nun $\int_{}^{} e^{-x^2} d \mu (x)$ und $\int_{}^{}e^{-x^2} d|\mu|(x)$ bestimmen wobei zweiteres die Totalvariation ist. ------------ Ich arbeite also direkt drauf los und zerlege mein $\mu$ in die Joran Zerlegung was mich auf Verteilungsfunktionen und diese wiederum (ableiten) auf Dichten führt, diese sehen bei mir nun so aus: $f_+(x)=\begin{cases}2e^{2x}-e^{x} & x\in (-log(2),\infty) \\0 & sonst\end{cases}$ $f_-(x)=\begin{cases}e^{x}-2e^{2x} & x\in (-\infty,-log(2)] \\0 & sonst\end{cases}$ Stimmt das bis hier her? Nun gehe ich auf die Integrale los und würde sagen, dass man das Beispiel folgendermaßen löst: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} d \mu (x)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} d \mu_+ (x)-\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} d \mu_- (x)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}f_+(x) d \lambda (x)-\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}f_-(x) d \lambda (x)$ Stimmt das? Mir ist klar wie ich das Integral berechne das nun hier steht, ich möchte nur Gewissheit, dass man das auch wirklich so berechnet, was mir nämlich eigenartig vorkommt, ist, dass nun gilt: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} d \mu (x)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}F'(x) d \mu$ wobei $F'(x)=\frac{d}{dx}(e^{2x}-e^x)$ Über eure Rückmeldung würde ich mich freuen! LG Mathler


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2925
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-25

\quoteon(2021-10-25 22:01 - Mathler im Themenstart) was mir nämlich eigenartig vorkommt, ist, dass nun gilt: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} d \mu (x)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}F'(x) d \mu$ wobei $F'(x)=\frac{d}{dx}(e^{2x}-e^x)$ \quoteoff In dem zweiten Integral soll vermutlich nicht über $\mu$, sondern über das Lebesgue-Maß integriert werden. Warum kommt dir das eigenartig vor? $\mu$ ist das Lebesgue-Stieltjes-Maß zu $F(x)=e^{2x}-e^{x}$ und $F'$ ist die Dichte von $\mu$ bezüglich des Lebesgue-Maßes. --zippy


   Profil
Mathler
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2020
Mitteilungen: 53
Wohnort: Österreich
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25

Hey Zippy, \quoteon In dem zweiten Integral soll vermutlich nicht über $\mu$, sondern über das Lebesgue-Maß integriert werden.\quoteoff ja genau das sollte ein $\lambda$ sein. \quoteon Warum kommt dir das eigenartig vor? $\mu$ ist das Lebesgue-Stieltjes-Maß zu $F(x)=e^{2x}-e^{x}$ und $F'$ ist die Dichte von $\mu$ bezüglich des Lebesgue-Maßes.\quoteoff Mir kommt es insofern komisch vor, weil es ja "nur" ein signiertes Maß ist. Das Lebesgue-Stieltjes-Maß jedoch ein "richtiges" maß ist, oder kommt das davon, dass ich durch das Zerlegen 2 Lebesgue-Stieltjes-Maße bekomme? LG


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2925
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-25

\quoteon(2021-10-25 22:48 - Mathler in Beitrag No. 2) Das Lebesgue-Stieltjes-Maß jedoch ein "richtiges" maß ist \quoteoff Es gibt auch signierte Lebesgue-Stieltjes-Maße, siehe etwa hier den 3. Abschnitt.


   Profil
Mathler
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2020
Mitteilungen: 53
Wohnort: Österreich
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25

\quoteon Es gibt auch signierte Lebesgue-Stieltjes-Maße, siehe etwa hier den 3. Abschnitt. \quoteoff Ich verstehe, das heißt, hier hab ich genau so etwas gegeben, nur das es nicht explizit gesagt wurde, alles klar. Um nochmal kurze auf meine Frage zurückzukommen, heißt das, dass man das dann einfach so berechnet: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} d \mu (x)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}f_+(x) d \lambda (x)-\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}f_-(x) d \lambda (x)$ ? oder mit obigem einfach $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} d \mu (x)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}f(x) d \lambda (x)$ mit $f=F'$ = ableitung des signierten Lebesgue-Stieltjes-Maß LG


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2925
  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-25

Das sieht richtig aus.


   Profil
Mathler hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Mathler hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]