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Mathematik » Geometrie » Auswirkung von umgekehrtem Durchlaufen einer Flächenkurve auf deren Länge
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Universität/Hochschule J Auswirkung von umgekehrtem Durchlaufen einer Flächenkurve auf deren Länge
dvdlly
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  Themenstart: 2021-10-26

Hi, Angenommen wir haben eine reguläre Fläche \(S\) mit Längenmessung \(L(c):= \int_{a}^{b} \mid \mid c'(t) \mid \mid \,dt\). Wenn man jetzt \(\tilde{c} := c(b-t)\) setzt dann bleibt ja die Länge erhalten, kann mir jemand sagen, warum das genau passiert? Ich bin mir da gerade unsicher. Also \(\tilde{c}' = -c'(b-t)\) soweit bin ich. Danke!

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sonnenschein96
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-26

Hallo dvdlly, wenn Du eine Kurve \(c\colon[a,b]\to\mathbb{R}^n\) hast, und \(\tilde{c}(t):=c(b-t)\) definieren möchtest, dann musst Du \(\tilde{c}\colon[0,b-a]\to\mathbb{R}^n\) betrachten, also auf dem Intervall \([0,b-a]\). Nun gilt \[ \begin{align*} L(\tilde{c})&=\int_0^{b-a}\|\tilde{c}'(t)\|\,dt=\int_0^{b-a}\|-c'(b-t)\|\,dt=\int_0^{b-a}\|c'(b-t)\|\,dt\\ &=-\int_b^a\|c'(s)\|\,ds=\int_a^b\|c'(s)\|\,ds=L(c), \end{align*} \] wobei \(s=b-t\) substituiert wurde.

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dvdlly
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-26

Danke :)

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