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Universität/Hochschule J Monge-Ampère-Maß
Saki17
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  Themenstart: 2021-10-28

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\) Hallo, der fragliche Begriff hätte wahrscheinlich mit der Theorie der PDE zu tun, von der ich fast nichts weiß... Betrachten wir eine $n$-dim. projektive komplexe Mfk $X$ sowie ein holomorphes Geradenbündel $L$ auf $X$ versehen mit einer hermitischen Metrik $||~||$. Sei $c_1(L)=c_1(L,||~||)$ die zugehörige erste Chern-Klasse. Ich lese, dass $c_1(L)^{\wedge n}$ dann das sog. Monge-Ampère Maß darstellt, charakterisiert durch die Formel $$\int_X c_1(L)^{\wedge n}=\deg_L(X).$$ Weiß jemand vielleicht, ob es eine rein analytische Beschreibung dafür gibt? Wie steht das Maß im Zusammenhang mit der Monge-Amperè Gleichung (wenn überhaput)?\(\endgroup\)


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moep
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-28

Ohne ein Experte fuer PDE oder Masstheorie zu sein, sehe ich den folgenden Zusammenhang. Da $c_1(L)^n$ eine Top-Form auf $X$ ist, kann man sie auffassen als (eine moegliche) Volumenform von $X$. Eine potentiell interessante Frage waere dann, wie man $X$ in einen hoeher dimensionalen Raum $Y$ einbettet, so dass der Rueckzug einer gegebenen Metrik / Mass auf $Y$ zu der Volumenform $c_1(L)^n$ auf $X$ fuehrt. Die zugehoerige Differentialgleichung waere dann vom Monge-Ampere-Typ. Warum allerdings $c_1(L)^n$ den speziellen Namen "Monge-Ampere-Mass" hat, ist mir schleierhaft. Zumindest findet sich auf der ersten Ergebnisseite bei Google keinen Treffer dazu. Gruss, moep


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Saki17
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-30

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\) Hallo moep, vielen Dank für deine Antwort. \quoteon(2021-10-28 13:53 - moep in Beitrag No. 1) Eine potentiell interessante Frage waere dann, wie man $X$ in einen hoeher dimensionalen Raum $Y$ einbettet, so dass der Rueckzug einer gegebenen Metrik / Mass auf $Y$ zu der Volumenform $c_1(L)^n$ auf $X$ fuehrt. Die zugehoerige Differentialgleichung waere dann vom Monge-Ampere-Typ. \quoteoff Könntest die Differentialgleichung in Frage aufschreiben? \(\endgroup\)


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Saki17
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-31

Die Terminologie könnte aus Demailly stammen, s. sein Paper "Mesures de Monge-Ampère et caractérisation géométrique des variétés algébriques affines", Theoreme et Definition 3.2. Ich habe das Paper allerdings noch nicht durchgelesen.


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moep
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-11-01

Tut mir leid, ich hab leider auch nur ein oberflaechliches Verstaendnis. Wie genau die Gleichung aussieht, haengt, denke ich, von der genauen Fragestellung ab. Ich hatte an folgendes gedacht: Starte mit irgendeinem Repraesentanten $\gamma \in H^{1,1}(X)$ von $c_1(L)$, dann laesst sich jede andere (1,1)-Form in der selben Kohomologie-Klasse darstellen als $\gamma_\phi := \gamma + \partial \bar\partial \phi$ fuer eine 0-form $\phi$. Sei nun $\omega$ die "erwuenschte" Top-Form auf $X$ (z.B., gegeben durch einen Rueckzug, oder eine andere Konstruktion). Dann ist $\gamma_\phi^n = \omega$ eine Monge-Ampere Gleichung fuer $\phi$. Dieser Fall ist leicht anders als der, den ich urspruenglich im Kopf hatte. Aber ich denke, dieses Beispiel ist "eher" das richtige, denn die Chern-Klasse ist ja erst mal eine Aequivalenzklasse. Und ich glaube, dass man einen konkreten Repraesentanten davon auswaehlen muss, um eine Volumenform / Metrik auf $X$ zu definieren. Insofern ist die Monge-Ampere Gleichung die natuerliche, die man loesen muss, um den passenden Repraesentanten fuer eine "erwuenschte" Volumenform $\omega$ zu bekommen. Aber vielleicht auessert sich noch jemand, der mehr Details dazu kennt? Gruss, moep


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Saki17
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-01

Danke schön, mit der Ausführlichkeit deiner letzten Antwort bin ich schon zufrieden.


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