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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » DFT wie man von δ(n) - 1/2 δ(n-1) auf 1-1/2exp(-j π/2)k kommt
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Universität/Hochschule J DFT wie man von δ(n) - 1/2 δ(n-1) auf 1-1/2exp(-j π/2)k kommt
Sinnfrei
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  Themenstart: 2021-10-28

Laut einer Aufgabe soll man von: $$x(n) = \delta(n) - \frac{1}{2}\delta(n - 1) \quad (1)$$ und der DFT $X(k)$ für $N = 4$ mit: $$X(k) = \sum_{n = 0}^{3} x(n) \cdot e^{-j \frac{2\pi}{N} n k} = \sum_{n = 0}^{3} x(n) \cdot e^{-j \frac{\pi}{2} n k} \quad (2)$$ auf: $$X(k) = 1 - \frac{1}{2} e^{-j \frac{\pi}{2} k} \quad (3)$$ kommen Frage/Ansatz: Ich bin so vorgegangen, dass ich für alle n's bis einschließlich zur 3, die Terme mit der Formel, für die DFT aus $(2)$ wie folgt eingesetzt habe: $$X(k) = \underbrace{\delta(0) - \frac{1}{2}\delta(-1)}_{= \infty} + \underbrace{(\delta(1) - \delta(0))e^{-j\frac{\pi}{2}k}}_{= -\infty} + \underbrace{(\delta(2) - \frac{1}{2}\delta(1))e^{-j \pi k}}_{= 0} + \underbrace{(\delta(3) - \frac{1}{2} \delta(2))e^{-j \frac{3 \pi}{2}k}}_{= 0}$$ An der Stelle n ungleich 0 ist der Dirac ja 0 und sonst ist er ja unendlich aber wie war das nochmal mit der Gewichtung. Hier wäre ja die Exponential-Funktion die Gewichtung oder?


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-28

Das $\infty$ und $-\infty$ in deinen Zwischenergebnissen legt den Verdacht nahe, dass du nicht weißt, was $\delta(n)$ hier bedeutet. Schau lieber nochmal in deine Unterlagen. --zippy


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Sinnfrei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-28

Habs erst mühselig im Buch vom Oppenheim gefunden, dass der zeitdiskrete Delta Impuls, eine Einheitsimpulsfolge ist und nicht wie im Zeitkontinuierlichen, an der Stelle $t = 0$ unendlich ist, bzw. nicht definiert. Warum ist dann der zeitdiskrete Delta Impuls an der Stelle $n = 0$ gleich 1 und nicht unendlich oder nicht definiert? Also damit ich es auch im zeitkontinuierlichen verstehe, hat es etwas mit der Gewichtung des Dirac's zu tun?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-28

Beide erfüllen eine ähnliche Bedingung, aber einmal eben diskret (in einer Summe) und einem kontinuierlich (in einem Integral):$$ \sum_n f(n)\,\delta(n) = f(0) \;,\quad \int f(x)\,\delta(x)\;\mathrm dx = f(0)$$


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Sinnfrei
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-28

Also muss der Dirac im zeitkontinuierlichen, an der Stelle $t = 0$ unendlich sein, weil sonst die Fläche nicht eins wäre und weil man im zeitdiskreten nicht die Fläche bestimmt, kann man den Dirac hier als 1 an der Stelle $n = 0$ annehmen?


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-28

\quoteon(2021-10-28 18:45 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) und weil man im zeitdiskreten nicht die Fläche bestimmt, kann man den Dirac hier als 1 an der Stelle $n = 0$ annehmen? \quoteoff Man nimmt das nicht an, sondern es ist so definiert, damit eben $\sum_n f(n)\,\delta(n) = f(0)$ herauskommt. Wenn man in diese Formel die Funktion $f(n)=1$ einsetzt und dann $\delta(n)=0$ für $n\ne0$ ausnutzt, steht ja sofort $\sum_n\delta(n)=\delta(0)=1$ da.


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