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Analysis » Stetigkeit » Lipschitzstetigkeit
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Universität/Hochschule J Lipschitzstetigkeit
nitram999
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  Themenstart: 2021-10-28

Hallo, ich habe die folgende Frage: Und zwar habe ich dieses Beispiel im Skript: f:\IR x \IR->\IR mit f(t,x)=sgn(t)*x ist Lipschitzstetig bezüglich x aber nicht stetig. Meine Frage ist nun, warum ist f Lipschitzstetig bezüglich x? Denn wenn man die partielle Ableitung von f nach x betrachtet ergibt sich ja (\pd\ f)/(\pd\ x) =sgn(t) und dies ist nicht stetig. Und demzufolge meiner Meinung nach auch nicht Lipschitzstetig bezüglich x. Im Skript haben wir nämlich den Satz: Wenn f stetig differenzierbar bezüglich x ist, so ist f lokal Lipschitzstetig bezüglich x.


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-28

Hallo, (stetige partielle) Differenzierbarkeit ist sicher keine notwendige Bedingung für Lipschitz-Stetigkeit. Arbeite hier besser mit der Definition dieses Begriffes. LG Nico


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nitram999
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-28

Hallo Nico! Wie ist dann aber der angegebene Satz zu verstehen? Oder kann ich ihn gar nicht anwenden, weil f nicht stetig ist? Viele Grüße nitram999


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Der Satz sagt doch lediglich, dass eine stetig differenzierbare Abbildung lokal Lipschitz-Stetig ist. Die Kontraposition davon wäre, dass eine nicht lokal Lipschitz-Stetige Abbildung auch nicht stetig differenzierbar sein kann. Das hat zunächst zumindest nichts mit der Lipschitz-Stetigkeit in $x$ zu tun. Verwende um diese nachzuweisen einfach die Definition der Lipschitz-Stetigkeit in der $x$-Variablen. Dann steht die Behauptung mehr oder weniger sofort da. LG Nico\(\endgroup\)


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nitram999
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-28

Also nach der herkömmlichen Definition von Lipschitzstetigkeit habe ich nun folgendes gezeigt: Es gilt: abs(f(t,x_1)-f(t,x_2))=abs(sgn(t)*(x_1 - x_2))=abs(sgn(t))*abs(x_1 - x_2)<=abs(x_1 - x_2), da der Betrag von sgn(t) maximal 1 ist. Somit ist für alle (t,x_1), (t,x_2) \el\ \IR x \IR eine Lipschitzbedingung erfüllt und f ist Lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante L=1.


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-28

Ja und das ist genau was du zeigen wolltest. Dass die Abbildung an sich aber nicht stetig ist könntest du z.B. durch zwei geschickt gewählte Folgen zeigen, wenn es dir nicht sowieso klar ist. LG Nico


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nitram999
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-28

Okay danke! Mein Denkfehler bezüglich des Satzes hat sich auch geklärt, denn bei einer Implikation A->B kann man ja wenn A nicht erfüllt ist nichts zu B aussagen. Also B kann dann wahr oder falsch sein.


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-28

Gerne. Und auch wenn der Satz sich anwenden lassen würde, impliziert er nur lokale Lipschitz-Stetigkeit. Du warst aber auf eine globale Aussage aus. LG Nico


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nitram999
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-28

Ja das stimmt auch :)


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nzimme10
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-10-28 18:28 - nitram999 in Beitrag No. 4) Also nach der herkömmlichen Definition von Lipschitzstetigkeit habe ich nun folgendes gezeigt: Es gilt: abs(f(t,x_1)-f(t,x_2))=abs(sgn(t)*(x_1 - x_2))=abs(sgn(t))*abs(x_1 - x_2)<=abs(x_1 - x_2), da der Betrag von sgn(t) maximal 1 ist. Somit ist für alle (t,x_1), (t,x_2) \el\ \IR x \IR eine Lipschitzbedingung erfüllt und f ist Lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante L=1. \quoteoff Achte hier noch auf deine Formulierung. $f$ ist nicht Lipschitz-Stetig, da $f$ ja nicht einmal stetig ist. $f$ ist aber Lipschitz-Stetig bezüglich der $x$-Variablen. Das ist schon ein enormer Unterschied. LG Nico\(\endgroup\)


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nitram999
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-28

Danke für die Anmerkung!


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