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  Zentri-Peripherie-Winkelsatz |
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Sekorita
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Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 494
 |  Themenstart: 2021-11-01
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Hallo, ich habe anbei eine Aufgabe angefügt deren Beweis ich leider nicht zu Ende kriege / ich weiß nicht ob ich auf dem Holzweg bin. Danke für die Hilfe im Voraus. Ebenfalls habe ich einen Beweisteil bereits fertig gestellt.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_k1.PNG
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_k2.PNG
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_k3.PNG
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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8376
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-01
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Hallo Sekorita,
Fall 1 sieht gut aus.
Was du zu Fall 2 schreibst, verstehe ich nicht. Was möchtest du denn überhaupt beweisen?
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Kuestenkind
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| Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-01
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Huhu,
\quoteon(2021-11-01 14:43 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1)
Fall 1 sieht gut aus.
\quoteoff
ich würde sagen geht so. \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MP}\) ist falsch, da beide Vektoren sicherlich nicht die gleiche Richtung haben. Was du wohl meinst ist \(\left|\overrightarrow{BM}\right|=\left|\overrightarrow{MP}\right|\). Ich vermisse auch mehr Fachausdrücke / Erklärungen - also solche Begriffe wie Basiswinkel, Nebenwinkel und Winkelsumme im Dreieck. Mag sein, dass dieses auch nur für "sehr gut" vorbehalten ist.
Gruß,
Küstenkind
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Sekorita
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Dabei seit: 26.10.2021
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-01
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Hey, erstmal danke für das Feedback. Die Ergänzungen Innenwinkelsatz, Nebenwinkel etc kann ich natürlich ergänzen. Das ist ein guter Hinweis, danke Dir:)
Zu 2)
Ich soll ja auch hier zeigen, dass der Mittelpunktwinkel doppelt so groß ist wie der Peripheriewinkel. Bei Fall 1 habe ich das hinbekommen. Bei Fall 2 habe ich einfach mal drauf losgeschrieben aber ich komme nicht darauf, wie ich das hier zeige.
Fall 3 habe ich alleine hinbekommen, aber bei Fall 2 hapert es
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Sekorita
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Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 494
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-01
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Um das auf meine Zeichnung zu übertragen der Winkel in M ist ja doppelt so groß wie der Winkel in P. (Ich schreibe von unterwegs deswegen ist das Tippen der griechischen Buchstaben gerade schwer )
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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-01
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\quoteon(2021-11-01 17:21 - Sekorita in Beitrag No. 3)
Ich soll ja auch hier zeigen, dass der Mittelpunktwinkel doppelt so groß ist wie der Peripheriewinkel.
\quoteoff
Das ist das Problem. Untersuche nochmal, was die zu beweisende Aussage sein könnte.
P.S.: Übrigens, genau um solche Fallunterscheidungen zu vermeiden, kann es sich lohnen etwas über gerichtete Winkeln zu lernen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-11-01
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Huhu,
\quoteon(2021-11-01 17:25 - Kezer in Beitrag No. 5)
P.S.: Übrigens, genau um solche Fallunterscheidungen zu vermeiden, kann es sich lohnen etwas über gerichtete Winkeln zu lernen.
\quoteoff
hier lädt man eine pdf-Datei mit einem alten Aufsatz von Darij herunter, welchen er mal für die Wurzel geschrieben hat. Er ist zudem auf Deutsch verfasst - und der Mittelpunktswinkelsatz wird dort auch über Kreiswinkel bewiesen. Dies nur als Ergänzung.
Gruß,
Küstenkind
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Sekorita
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-01
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Also: Leider wurde uns explizit gesagt, dass wir hier diese nervige Fallunterscheidung durchführen müssen.
Zeigen möchte ich (ausgehend von meiner Zeichnung)
\epsilon = 2(\gamma+ \xi)
Den Winkel \epsilon könnte ich auch in 2 Teile teilen, sodass gilt
\epsilon_l +\epsilon_r = \epsilon
Ich weiß, dass das Dreieck AMP gleischenkelig ist, so wie auch das Dreieck BMP.
Ich weiß auch, dass gilt 180= 2\alpha + \epsilon.
Genauso wie: 180= \epsilon_l + \alpha+\phi+\xi
180= \epsilon_r + \gamma + \alpha+\beta
Es gelten ebenfalls die Gleichungen \alpha+\beta=\gamma
und \alpha+\phi = \xi
Ich habe hier jetzt einfach mal alles aufgelistet was meiner Meinung nach gilt, aber jedes durchprobieren und rechnen bringt mich leider nicht auf mein gewünschtes Ergebnis... Ich verliere da den Durchblick
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
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Kuestenkind
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-11-01
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\quoteon(2021-11-01 18:40 - Sekorita in Beitrag No. 7)
Zeigen möchte ich (ausgehend von meiner Zeichnung)
\epsilon = 2(\gamma+ \xi)
\quoteoff
Schau doch mal hier und schiebe den Punkt B nach unten.
Gruß,
Küstenkind
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Sekorita
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-01
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Da sehe ich, dass Der Winkel \epsilon als Mittelpunktswinkel nicht doppelt so groß ist, wie der Peripheriewinkel. Das liegt daran, dass der Punkt P ( in geogebra Punkt B) nicht in der gleichen Halbebene liegt. Das hätte ich natürlich durchblicken müssen. Also besteht der Sinn der Fallunterscheidung darin, dass der Zentri-Peripherie-Winkelsatz besagt, dass jeder Zentriwinkel in der gleichen Halbebene doppelt so groß wie der Peripheriewinkel ist. Welche Beweisstrategie ist hier denn dann sinnvollsten? Würde sich ein Widerspruchbeweis anbieten in dem ich annehme, dass \epsilon = 2(\gamma+ \xi) und das dann zum Widerspruch führe? Oder gibt es ein viel einfacheres Verfahren?
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Kezer
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-11-01
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Es ist richtig, dass der Zentriwinkel nicht doppelt so groß wie der Peripheriewinkel ist. Aber auch in Fall 2 gibt es eine genaue Beziehung dieser Winkeln. Spiele weiter auf Geogebra herum bis du zu einer Vermutung kommst.
Es hat schon einen Sinn die Fallunterscheidung durchzuführen, die genaue Aussage kann man mit gerichtete Winkeln auch nicht erhalten. Nur ist genaue Aussage oft nicht wichtig, deshalb der Ausblick über gerichtete Winkeln - denn genau die Fallunterscheidung in dieser Aufgabe motiviert die Theorie gerichteter Winkeln.
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Sekorita
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-01
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Die Punkte A,M,B;P Bilden ein Viereck. Der Winkel Epsilon hat dann eine Größe von \epsilon= 360- (\alpha+\phi) -(\xi+\gamma) - (\alpha+\beta)
wobei a+\phi = \alpha+\beta = (\xi+\gamma) :2
Also die Wer Winkel in A und B ist die Hälfte des Winkels in P.
In Bezug auf meine Aufgabenstellung auf dem Blatt muss ich doch aber nur zeigen, dass die Annahme das MPW doppelt so groß wie PRW ist, nicht gilt, oder?
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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
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| Beitrag No.12, eingetragen 2021-11-01
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Nein.
Spiel doch wirklich einfach auf Geogebra oder auf einem Stück Papier weiter herum, bis du eine ordentliche Vermutung hast.
Vielleicht hilft es dir, wenn du die Peripheriewinkeln auf beide Seiten einzeichnest.
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Sekorita
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-01
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Hallo,
das habe ich die ganze Zeit gemacht, verschiebe ich den Punkt B auf dem Kreis bleibt er immer gleich. Schiebe ich den Punkt B beispielsweise auf einen winkel von 100 Grad, ergibt sich für die Peripheriewinkel, dann jeweils 40 Grad. Aber ich weiß leider wirklich nicht worauf ich jetzt hinaus will in Bezug auf den Mitelpunktswinkel
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Kuestenkind
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| Beitrag No.14, eingetragen 2021-11-01
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Schieb doch sonst mal auf ganzzahlige Werte. Und Kezers Tipp befolgend dann beide Seiten betrachten. Es ergibt sich z. B. dieses Bild:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2021-11-01_um_21.10.59.png
Vll bringt dich das ja noch auf eine Idee.
Gruß,
Küstenkind
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Kezer
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-11-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\C}{\mathscr{C}}
\newcommand{\A}{\mathbb A}
\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\LL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\variety}{\mathcal{V}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}
\newcommand{\sep}{\mathrm{sep}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}}
\newcommand{\Set}{\mathbf{Set}}
\newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}
\newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}\)
Übrigens weiß ich nicht, wie du auf $100^{\circ}$ und $40^{\circ}$ kommst, vielleicht verwechselst du da zwei Begriffe. Jedenfalls sind die Peripheriewinkel nicht die zwei Winkel vom gleichschenkligen Dreieck $\triangle EFA$ aus Kuestenkinds Skizze.
Mehr zum Geogebra Tipp: Ignoriere vielleicht erstmal den Zentriwinkel und konzentriere dich auf eine Vermutung für die gegenüberliegenden Peripheriewinkel.\(\endgroup\)
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Sekorita
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-01
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Hallo, sry ich meinte die beiden übrig gebliebenen Dreieckswinkel, mein Fehler. Die gegenüberliegenden Peripheriewinkel ergeben also immer 180 Grad. Jedoch sehe ich da immer noch nicht den Zusammenhang mit dem Zentriwinkel.
Man könnte formulieren, dass die beiden Peripheriewinkel immer größer als der Zentriwinkel sind, außer natürlich wenn die Sehne genau durch den Mittelpunkt verläuft, dann sind Zentriwinkel 18ß Grad und die beiden Peripheriewinkel ja 90 Grad. Letzteres ist aber glaube ich nicht wirklich zielführend.
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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 | Beitrag No.17, eingetragen 2021-11-01
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Hallo
Vielleicht könnte dir der Scheitelwinkelsatz.
Gruß Caban
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Kezer
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| Beitrag No.18, eingetragen 2021-11-01
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Du hast eine Vermutung für die gegenüberliegende Peripheriewinkel. In Fall 1 hast du bereit eine Beziehung zwischen einem dieser Peripheriewinkel und den Zentriwinkel bewiesen. Kombiniere diese Sachen, um eine Aussage für den anderen Peripheriewinkel zu treffen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]
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Sekorita
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-01
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Ich hoffe es ist so richtig
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_k5.PNG
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Caban
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.20, eingetragen 2021-11-02
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Hallo
Ich hätte mit dem Schritt \alpha'=180°-\alpha angefangen, sonst wirkt das auf mich wie ein Zirkelschluss.
Gruß Caban
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Sekorita
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-02
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Danke für die freundlichen Hilfen und einen schönen Tag noch :)
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