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Universität/Hochschule J Beweis von Lindemann-Weierstraß
Cyborg
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Hallo, Leute! Ich habe folgendes Problem: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_3_hilfe.jpg Hier der Link zum Beweis. Mir ist nicht klar, wie man bekommt, dass \(J_1\cdot\ldots \cdot J_n\) symmetrisch in \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) ist??? Ich weiß, dass \(J_i\) ein von \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) abhängiges Polynom mit rationalen Koeffizienten ist. Wenn man zeigen kann, dass \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\) symmetrisch ist, dann folgt, dass \(J_1\cdot\ldots \cdot J_n\) aus $\mathbb{Q}$ ist, was ich haben will! Ich danke euch!


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ollie3
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-18

Hallo, wenn man in dem Produkt G(alpha1)•...•G(alpha_n) die alpha`s vertauscht, ändert sich das Produkt doch nicht, also muss das Polynom J_1 ••• J_n symmetrisch sein ... Gruss ollie3


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Cyborg
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-18

Hallo, ollie3! Das habe ich auch erst gedacht! Nur frage ich mich, warum man \(J_i=G(\alpha_i)\) setzen kann, wenn doch \(J_i\) ein Polynom in \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) (und nicht nur \(\alpha_i\)) mit rationalen Koeffizienten ist???


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Cyborg
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-18

https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_4_hhh.jpg Hier ist \((J_1*J_2)(\alpha_1,\alpha_2)\neq(J_1*J_2)(\alpha_2,\alpha_1)\)! Ein Gegenbeispiel!?


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ollie3
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-11-19

Hallo, dein Gegenbeispiel verstehe ich nicht. Jedenfalls sind die J_i nicht irgendwelche Polynome, sondern nach einem bestimmten Schema gebildet,sodass sie als summe von symmetrischen Polynomen selber symmetrisch sind. Und in dem Text auf Wikipedia ist ja immer vom " Fundamentalsatz für symmetrische Polynome" die Rede. (Mein Computer übersetzt die englische Wikipedia automatisch auf deutsch)


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Cyborg
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-19

Hallo, nochmal! https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_4_hilfe.jpg Auch hier setzt man \(K_v=P(\gamma_v)\). Also: Ich komme wohl nicht drumherum zu verstehen, warum in meiner Notation beweisen werden muss, warum man \(J_i=G(\alpha_i)\) setzen kann.


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-19

Ich muss wohl zeigen, dass es ein Polynom \(G(x)\) gibt, so dass immer gilt: \(G(\alpha_i)=J_i\)


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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-19

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_5_hilfe.jpg Kann mir mal jemand die Frage beantworten, was man mit unabhängig von \(i\) meint? Vielleicht ist das ein wichtiger Hinweis. Ich habe micht damit angefreundet, dass man \(J_i=G(\alpha_i)\) setzen kann.


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Cyborg
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-19

Ich habe inzwischen alles zusammen!


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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-22

Weil mir der Beweis mithilfe des Hauptsatzes über symmetrische Polynome nicht gefällt, um zu zeigen, dass \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n\in\mathbb{Q}\) gilt, möchte ich mir einen Beweis mit Galois-Theorie ausarbeiten: Nämlich den hier: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_4_frage.jpg Dieser Beweis stammt von Florian Modler. Ich habe eigentlich keine Ahnung von Algebra, also insbesondere nicht von Galois-Theorie, trotzdem möchte ich den Beweis verstehen und zusammen mit euch ausarbeiten, weil ich den Beweis für überschaubar halte. Ich habe einen 15-minütigen Crashkurs mit meinem Algebra-Buch von Prof. Dr. Ina Kersten hinter mir und hoffe, dass das erstmal reichen kann. \red\ Frage: Wenn man gezeigt hat, dass das Produkt \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n\) von allen Permutationen der Menge \(\{n_t+1,\ldots,n_{t+1}\}\) festgehalten wird, dann soll das Produkt im Fixkörper \(L^{G(f)}=L^{G(L/\mathbb{Q})}=\mathbb{Q}\) liegen. Nun gilt \(L^{G(L/\mathbb{Q})}=\{a\in L: \sigma(a)=a\forall\sigma\in G(L/\mathbb{Q})\}\). Warum ist \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n\) aus \(L^{G(L/\mathbb{Q})}\), wenn das Produkt nicht unter allen Permutationen invariant ist???? Denn es muss doch gelten: \(\sigma(a)=a\forall\sigma\in G(L/\mathbb{Q})\)?


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Cyborg
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-23

* hochschieb *


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ollie3
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-11-23

Hallo, ich verstehe deine Frage nicht: Wenn man die Elemente permutiert und sich das Produkt nicht ändert, ist das doch gerade ein Zeichen dafür, das das Produkt im Fixkörper, also Q liegen muß.


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Cyborg
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-23

Hallo, ollie3! Ich weiß, dass das für dich ganz einfach ist. Aber für mich ist da vieles neu, ich sehe vor lauter Bäumen den Wald kaum. Ich muss mal gucken, ob ich die vielen Einzelheiten in einen gescheiten Zusammenhang bringen kann, bevor ich wieder was schreibe!! Danke, dass wenigstens du dich meiner erbarmst. 😵


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dlchnr
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-11-23

\quoteon Danke, dass wenigstens du dich meiner erbarmst. 😵 \quoteoff Bei mir fehlt es schlicht und einfach am Knoff hoff, als dass ich mich erbarmen könnt'. ;-)


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-23

Hallo! Der Zerfällungskörper ist \(L=\mathbb{Q}[\alpha_1,\ldots,\alpha_n]\), wobei \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) algebraische Zahlen über \(\mathbb{Q}\) seien, seien diese aus \(A_{\mathbb{Q}}\). Weil rationale Zahlen algebraische Zahlen über \(\mathbb{Q}\) sind, gilt also: \(L=\mathbb{Q}[\alpha_1,\ldots,\alpha_n]=A_{\mathbb{Q}}\). Nun ist \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in L\). Dass man die $\alpha$'s tauscht, hei"st, dass man gewisse Automorphismen auf \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in L\) ausübt. \(Aut(L)\) ist ein Isomorphismus \(L\rightarrow L\) und eine Gruppe bzgl. Hintereinanderausf"uhrung. Weil man nicht alle Permutationen, sondern nur bestimmte Automorphismen auf\(J_1\cdot\ldots\cdot J_n(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in L\) ausübt, ist die Menge nicht ganz \(Aut(L)\), sondern eine Untergruppe \(G\). Nun ist \(L^G:=\{a\in L: \sigma(a)=a \forall \sigma\in G\}\). Es gilt \(L^G=K=\mathbb{Q}\) genau dann, wenn \(L/\mathbb{Q}\) normal und separabel ist. \(L\) ist normal, weil \(L\) das Polynom in Linearfaktoren zerfällt und separabel, weil das Minimalpolynom keine mehrfache Nullstelle hat. Also gilt wirklich \(L^G=K=\mathbb{Q}\). Also \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in L^G=\mathbb{Q}\). OK?


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ollie3
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  Beitrag No.15, eingetragen 2021-11-23

Hallo, nein, man lässt alle Permutationen auf das Produkt wirken und stellt fest, das sich der Wert des Produktes dadurch nicht ändert. Daraus schließt man dann, dass sich J im Fixkörper befinden muss.


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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-23

Hallo, ollie3! Aber hier heißt es: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_5_hhh.jpg Man benutzt also nicht eine beliebige Permutation von \(1,\ldots,n\), sondern ALLE, die \(\{n_t+1,\ldots,n_{t+1}\}\) permutieren und die anderen bleiben fest. Wenn du mir zeigen kannst, dass für eine beliebige Permutation von \(1,\ldots,n\), das \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n\) invariant ist, dann wäre mir der Beweis von \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n\in\mathbb{Q}\) sogar mithilfe des Satzes über symmetrische Polynome klar! Das ist gerade mein Problem gewesen, dass man Invarianz nicht für alle Permutationen hat! Außerdem scheint mir \(L^G=K=\mathbb{Q}\) unabhängig von \(G\) zu sein. Hauptsache \(L/K\) ist galoissch.


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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-24

Hallo, Leute! Ich habe folgendes gefunden: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_6_hhh.jpg Es gilt also nicht für beliebige \(G\subsetneq Gal(L/K)\), dass gilt \(L^G=K\), sondern nur für \(L^{Gal(L/K)}=K\)?? Das heißt doch, dass \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in K=\mathbb{Q}\) gilt, wenn für ALLE Permutationen das Produkt invariant ist, man hat es aber nur für bestimmte gezeigt, nämlich: \(n_t+1,\ldots,n_t\) permutiert, alle anderen bleiben fest?? Wenn man gezeigt hätte, dass \(J_n(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\) für ALLE Permutationen \(1,\ldots,n\) invariant ist, dann brauche ich Galois-Theorie gar nicht mehr. Bitte helft mir! 🙄


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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-27

https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_4_frage.jpg Kann mir das jemand mal AUSFÜHRLICH aufschreiben, was da passiert! Ihr seid doch schlau! Ich verlange doch nichts Unmögliches, oder?? Ich brauche unbedingt, dass \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n\in\mathbb{Q}\) gilt.


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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-27

* Häkchen entfernen *


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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-27

Ich habe folgendes: \(L\) ist Zerfällungskörper eines über \(\mathbb{K}\) separablen Polynoms daraus folgt: \(L:\mathbb{K}\) ist Galoiserweiterung daraus folgt: \(L^{Gal(L/\mathbb{K})}=\mathbb{K}\) Ich weiß: 1. \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb{Q}[X]\) 2. Man kann die \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) in Gruppen zerlegen, so dass für eine Gruppe die \(\beta\)'s gleich sind und es gilt: Wenn man in \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n\) die \(\alpha\)'s innerhalb einer Gruppe permutiert, dann ist \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n\) innerhalb dieser Gruppe invariant. UND: Man hat nicht unbedingt: \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n(\alpha_{\sigma(1)},\ldots,\alpha_{\sigma(n)})\) für ALLE \(\sigma\in S_n\). 3. \(\varphi: Gal(L/K)\rightarrow S(\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\})\) ist injektiv, also teilt \(|Gal(L/K)|\) die Zahl \(n!\), ich dachte fälschlicherweise \(Gal(L/K)\simeq S_n\) 4. \(L=\mathbb{Q}[\alpha_1,\ldots,\alpha_n]\) und \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in L\) FRAGE: Warum ist \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in L^{Gal(L/\mathbb{K})}\)??? Wie sieht \(Gal(L/K)\) genau aus? Und was hat das genau damit zu tun, dass \(\alpha\)'s innerhalb einer Bahn permuitiert das \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n\) invariant lassen?? \(Gal(L/K)\) operiert auf \(\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}\) und ignoriert die \(\beta\)'s aus \(K=\mathbb{Q}\). Man weiß also, dass für \(\sigma\in Gal(L/K)\) sowas hat wie \(\sigma(\alpha_i)=\alpha_j\), und was hat das damit zu tun, dass \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\) für Gruppen von \(\alpha\)'s invariant ist??? Es gilt \(L^M=\{a\in L: \sigma(a)=a\forall\sigma\in M\}\) Wenn \(Gal(L/K)=Gal(L/\mathbb{Q})\) ZUFÄLLIG gleich den Permutationen von \(\alpha\)'s innerhalb einer Gruppe/Bahn darstellt, die \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n\) invariant lassen, dann gilt klarerweise \(J=J_1\cdot\ldots\cdot J_n(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in L^{Gal(L/\mathbb{K})}\) Warum sollte \(Gal(L/K)\) aus Automorphismen bestehen, die \(\alpha\)'s auf andere \(\alpha\)'s abbildet wie \(\alpha\)'s innerhalb einer Bahn permutieren und \(J\) invariant lassen???


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  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Ich habe nochwas: Seien die Permutationen der \(\alpha\)'s gegeben, damit meine ich folgendes: \((\alpha_{n_1+1},\ldots|\alpha_{n_2+1},\ldots|\cdots|\alpha_{n_r+1},\ldots)\) Permutationen nur innerhalb zweier Balken! Seien diese Permutationen die Gruppe P. Weil diese Permutationen \(J=J_1\cdot\ldots\cdot J_n\) invariant lassen, gilt \(J\in L^P\). Wenn jetzt gelte \(P\subseteq Gal(L/K)\), dann folgt leider nur \(L^{Gal(L/K)}\subseteq L^P\), ich will das aber umgekehrt herum: Gilt ABER: \(Gal(L/K)\subseteq P\), dann folgt \(L^P\subseteq L^{Gal(L/K)}\), also folgt, wie gew"unscht, \(J\in L^P\subseteq L^{Gal(L/K)}=K=\mathbb{Q}\)!!! \red\ FRAGE JETZT: Lässt sich irgendwie zeigen, dass \(Gal(L/K)\subseteq P\) gilt??????? P.S.: Ich halte das für schwierig: \(Gal(L/K)\) ist doch allgemeiner als \(P\)!??


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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-29

Ich glaube das Höchste, was ich erwarten kann ist, dass \(Gal(L/K)=P\) gilt.


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  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-29

\quoteon(2021-11-27 12:39 - Cyborg in Beitrag No. 18) https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_4_frage.jpg Kann mir das jemand mal AUSFÜHRLICH aufschreiben, was da passiert! Ihr seid doch schlau! Ich verlange doch nichts Unmögliches, oder?? Ich brauche unbedingt, dass \(J_1\cdot\ldots\cdot J_n\in\mathbb{Q}\) gilt. \quoteoff BITTE, BITTE, helft mir.


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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-29

https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_123.jpg Ich brauche nicht, dass \(J=J_1\cdot\ldots\cdot J_n(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\) für ALLE Permutationen von \((\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\) invariant ist. Es reicht die Invarianz von Permutationen innerhalb von Gruppen von \(\alpha\)'s. WARUM???? Ich möchte das schöne Lindemann-Weierstraß-Theorem unbedingt an Land ziehen, weil das so toll ist. Ich muss nur noch wissen, warum \(J\in\mathbb{Q}\) ist, dann habe ich alles zusammen. Ich werde mich dann nicht mehr mit zu Schwerem anlegen, weil ich nicht mehr auf eure Hilfe angewiesen sein will. Weil ich finde, dass man in der Mathematik vieles ALLEINE können sollte. Nur noch dieses eine Theorem, bitte!!


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  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-29

\quoteon(2021-11-28 10:31 - Cyborg in Beitrag No. 21) Ich habe nochwas: Seien die Permutationen der \(\alpha\)'s gegeben, damit meine ich folgendes: \((\alpha_{n_1+1},\ldots|\alpha_{n_2+1},\ldots|\cdots|\alpha_{n_r+1},\ldots)\) Permutationen nur innerhalb zweier Balken! Seien diese Permutationen die Gruppe P. Weil diese Permutationen \(J=J_1\cdot\ldots\cdot J_n\) invariant lassen, gilt \(J\in L^P\). Wenn jetzt gelte \(P\subseteq Gal(L/K)\), dann folgt leider nur \(L^{Gal(L/K)}\subseteq L^P\), ich will das aber umgekehrt herum: Gilt ABER: \(Gal(L/K)\subseteq P\), dann folgt \(L^P\subseteq L^{Gal(L/K)}\), also folgt, wie gew"unscht, \(J\in L^P\subseteq L^{Gal(L/K)}=K=\mathbb{Q}\)!!! \red\ FRAGE JETZT: Lässt sich irgendwie zeigen, dass \(Gal(L/K)\subseteq P\) gilt??????? P.S.: Ich halte das für schwierig: \(Gal(L/K)\) ist doch allgemeiner als \(P\)!?? \quoteoff Ich glaube herausgefunden zu haben, dass tatsächlich \(Gal(L/K)=P\) gilt! Damit wäre mein Problem gelöst!!! Ich schreibe gleich was dazu!!!


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  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30

Das sind die beiden OBDA's, die man voraussetzen kann https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_hilfe1123.jpg Wegen (II) kann man \(J_i\) schreiben als: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_1234.jpg Man sieht da schnell, dass \(J_i\), also auch \(J=J_1\cdot\ldots\cdot J_n\) symmetrisch in \(\alpha_{n_{t-1}+1},\ldots,\alpha_{n_t}\) ist. Hier wird erklärt, dass \(Gal(L/K)\) die Nullstellen eines Polynoms permutiert: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_1_ggg.jpg UND JETZT ZUM BEWEIS VON \(P=Gal(L/K)\), wobei \(P\) sein soll: \quoteon(2021-11-28 10:31 - Cyborg in Beitrag No. 21) Seien die Permutationen der \(\alpha\)'s gegeben, damit meine ich folgendes: \((\alpha_{n_1+1},\ldots|\alpha_{n_2+1},\ldots|\cdots|\alpha_{n_r+1},\ldots)\) Permutationen nur innerhalb zweier Balken! Seien diese Permutationen die Gruppe !!!P!!!. \quoteoff \(0=(x-\alpha_1)\cdot\ldots\cdot(x-\alpha_n) =[(x-\alpha_{n_0+1})\cdot\ldots\cdot(x-\alpha_{n_1})]\cdot\ldots\cdot[(x-\alpha_{n_{r-1}+1})\cdot\ldots\cdot(x-\alpha_{n_r})]\overset{(II)}{=} Q_1(x)\cdot\ldots \cdot Q_r(x) \) Dabei gilt \(Q_1,\ldots,Q_r\in \mathbb{Q}(x)\). Also gilt: \(0=\sigma(0)=Q_1(\sigma(x))\cdot\ldots \cdot Q_r(\sigma(x))\) Das heißt: Nullstellen von \(Q_i\) werden auf Nullstellen von \(Q_i\) abgebildet! Das heißt Permutationen von \(\alpha\)'s bleiben in den Gruppen \(\alpha\)'s, denn gelte z.B. \(\sigma(\alpha_{n_0+1})=\alpha_{n_r}\), also Permutation von \(\alpha\)'s aus zwei verschiedenen Gruppen, dann w"are aber \(\alpha_{n_r}\) keine Nullstelle von \(Q_1\), Widerspruch! ALSO: \(Gal(L/K)=P\).


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  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30

ALLES OK???


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Cyborg hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Cyborg hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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