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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Rang eines Homomorphismus?
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Universität/Hochschule Rang eines Homomorphismus?
DerVerwirrtIst
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  Themenstart: 2021-11-24 21:13

Guten Abend, ich versuche Homomorphismen zu verstehen und hänge beim Rang fest. In Büchern konnte ich den Rang bezüglich einer Teilmenge W eines K-Vektorraumes schon halbwegs gut verstehen. Er ist definiert als dim span(W). Dazu hatte ich mir überlegt, dass W damit [Rang W] linear unabhängige Elemente enthalten muss. Liege ich soweit richtig? Wie sich das ganze jetzt auf Homomorphismen überträgt bzw. wozu das Konzept des Ranges eigentlich dient ist mir jedoch leider schleierhaft. Vielleicht kann jemand etwas Licht ins Dunkle bringen? Danke 😁.


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ligning
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-24 21:26

https://de.wikipedia.org/wiki/Rang_(Mathematik) "Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes $\operatorname {Bild} (f)$ dieser Abbildung definiert."


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DerVerwirrtIst
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-24 21:58

Ok...danke erstmal. Die Definition kenne ich aus den gleichen Büchern, sie ist ja immerhin recht ähnlich wie die Definition des Ranges im Kapitel für Teilmengen von Vektorräumen. Ansonsten ist meine Frage auch recht unpräzise, tut mir leid. Vielleicht kann ich mal einen der Sätze einbringen, die mir in diesem Kapitel besonders Schwierigkeiten machen. Sind V, V' und V'' endlich-dimensionale Vektorräume und sind f:V \textrightarrow V', g:V' \textrightarrow V'' Homomorphismen der K-Vektorräume, so gilt a) Rang g \circ f = Rang(g|Bild f) = Rang f - dim(Bild f \cut\ Kern g). b) Rang f + Rang g - dim V' <= Rang g \circ f <= Min(Rang f, Rang g). Sobald Verknüpfungen auftreten bin ich leider raus, wie berechnet sich da der Rang? Der Rang ist definiert als die Dimension des Bildes der linearen Abbildung, aber weiß ich überhaupt wie das Bild einer solchen Verknüpfung aussieht? Falls ja, wie darf ich mir das vorstellen? Wie finde ich die Dimension des Bildes jeglicher linearer Abbildungen? Ist die nicht abhängig von der Art des betrachteten Homomorphismus? Ich kann gerne versuchen das weiter zu spezifizieren, das ganze Thema ist im Moment jedoch sehr unzugänglich, daher tue ich mir schwer, einen Ansatz für ein konkret ausformuliertes Problem zu finden 🤔


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capstrovor
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-25 15:11

Verknüpfungen von Homomorphismen ergeben wieder einen Homomorphismus mit Kern, Bild und daher auch Rang. Du musst dir nur überlegen, wie sich der Kern von der Verknüpfung zusammensetzt. Ein Homomorphismus bildet den 0-Vektor immer auf den 0-Vektor ab. Es gilt also schonmal \(\ker f \subseteq \ker(g\circ f)\). Dann gibt es natürlich noch die Vektoren in \(V'\), die von g auf null abgebildet werden. Die Frage ist, ob bzw. "wieviel" von \(\ker g\subseteq Im f\). Kannst du mit diesen Überlegungen Aussage a) beweisen?


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