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Analysis » Integration » Koordinatenabbildung integrierbar
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Universität/Hochschule Koordinatenabbildung integrierbar
QuigonJin
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  Themenstart: 2021-11-24

Hallo, ich bin gerade bei folgender Aufgabe ein wenig ratlos. Wir haben die \(k\)-te Koordinatenabbildung für \(k\in\{1,...,n\}\) \(\pi_k:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}\) mit \(\pi_k(x_1,...,x_n):=x_k\) Außerdem haben wir eine beschränkte Borel-Menge \(B\subseteq \mathbb{R}^n\). Ich soll nun zeigen, dass \(\pi_k\) über \(B\) integrierbar ist. Mir fehlt gerade jeglich Idee, wie ich das angehen kann. Ich freue mich über jede Hilfe VG Quigon


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-25

Es gilt $\int_B \pi_k(x) dx = \int_{\IR^n} \pi_k(x) \chi_B(x) \, dx$. Nun überlege dir mal, wie die Funktion $x \mapsto \pi_k(x) \chi_B(x)$ eigentlich konkret aussieht. Es kann nicht schaden, ein Beispiel für $n=2$ aufzumalen.


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QuigonJin
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-25

Hi Triceratops, ich habe ein wenig Probleme mir die Abbildung vorzustellen, weil ich durch die Abbildung \(\pi_k\) etwas verwirrt bin. Meine Überlegung wäre folgendes: \(\pi_k(x)\chi_B(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x_k & x \in B \\ 0 & \, \textrm{sonst} \\ \end{array} \right.\) Aber ich verstehe einfach nicht, was ich mir unter \(\pi_k\) vorstellen kann


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, $\pi_k$ ist einfach die Projektion auf die $k$-te Koordinate. Eigentlich sind die Abbildungen $\pi_k$ gerade das, was wir unter den Koordinaten verstehen. Zum Beispiel in $\mathbb R^2$: Gegeben einen Punkt $(a,b)$, so ist $\pi_1(a,b)=a$ und $\pi_2(a,b)=b$. LG Nico\(\endgroup\)


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QuigonJin
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-25

Okay, ich glaube ich kann mir mittlerweile \(\pi_k\) ganz gut vorstellen, habe allerdings überhaupt keine Idee, wie ich die Integrierbarkeit zeigen könnte :/


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Dann nimm dir doch Triceratops Tipp zu Herzen und mal eine beschränkte Borelmenge im Fall $n=2$ einfach mal auf und überlege dir, wie die Abbildung $\mathbb R^2\to \mathbb R, \ x\mapsto \pi_k(x)\chi_B(x)$ in diesem Fall konkret aussieht. Du kannst auch noch einfacher beginnen mit dem Fall $n=1$. Was ist denn $\pi_1$ im Fall $n=1$? LG Nico\(\endgroup\)


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QuigonJin
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-26

Nun ich habs mir wie folgt überlegt. Im Fall \(n=1\) ist doch \(\pi_1=Id\) Für \(n=2\) betrachtet man ja ein Rechteck. Dabei bildet \(\pi_k\) denke ich jeweils auf die Koordinatenachsen ab. So habens zumindest meine Vorstellungs- und Zeichenkünste mir gezeigt. Am meisten verwirrt mich, dass ja \(\pi_1\) und \(\pi_2\) auf andere Achsen abbilden und dann die gesamte Funktion \(\pi_k\) betrachtet wird.


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-11-26

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, genau $\pi_1$ ist für $n=1$ einfach die Identität. Ansonsten hast du gerade denke ich einen Denkfehler. Was meinst du mit "die ganze Funktion $\pi_k$"? Du betrachtest nun eine Borelmenge $B\subseteq \mathbb R^n$ (die natürlich nicht unbedingt ein Quader sein muss!) und dann für ein festes $k\in \mathbb N$ mit $1\leq k \leq n$ die Projektion auf die $k$-te Koordinate $\pi_k\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$. Auf der Menge $B$ macht $\pi_k$ nichts anderes, als jeden Punkt $x\in B$ auf seine $k$-te Koordinate abzubilden. So weit so gut. Jetzt weißt du aber auch, dass $B$ beschränkt sein muss. Was weißt du damit über $\pi_k$? Kann $\pi_k$ z.B. (betragsmäßig) beliebig groß werden? LG Nico\(\endgroup\)


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QuigonJin
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-26

Ich denke mal es zielt darauf ab, dass man aus Stetigkeit und Beschränktheit die Integrierbarkeit folgern kann. Die Stetigkeit würde ich wie folgt zeigen. Für alle \(\varepsilon>0\) und \(x,y\in\mathbb{R}^n\), mit \(||x-y||_{max}<\delta:=\varepsilon\) gilt, \(|\pi_k(x)-\pi_k(y)|=|x_k-y_k|\leq||x-y||_{max}<\varepsilon\) Klappt das so und reicht das dann an sich schon als Begründung für die Integrierbarkeit aus?


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nzimme10
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-11-26

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Nein, die Stetigkeit alleine reicht nicht aus, da wir nicht unbedingt auf einer kompakten Menge sind. Die Stetigkeit ist aber nützlich, denn damit wissen wir, dass $\pi_k$ messbar ist. Wir wissen nun aber auch, dass $B$ beschränkt ist. Folglich gibt es ein $r>0$ derart, dass $B\subseteq B_r(0)=\lbrace x\in \mathbb R^n \mid \lVert x\rVert\leq r\rbrace$ gilt. Damit wissen wir doch auch, dass $|\pi_k(x)|\leq r$ für alle $x\in B$ gilt. Folglich gilt doch auch \[ \begin{align*} \int_B |\pi_k(x)| \d \lambda(x) &=\int_{\mathbb R^n} |\pi_k(x)|\cdot \chi_B(x) \d \lambda(x)\leq \int_{\mathbb R^n} r\cdot \chi_{B_r(0)}(x) \d \lambda(x). \end{align*} \] Was kannst du nun über das letzte Integral sagen? LG Nico Generell als gut gemeinter Hinweis: Wenn du fragen musst, ob etwas als Begründung ausreicht, dann reicht es (in diesem Moment jedenfalls) nicht als Begründung aus.\(\endgroup\)


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QuigonJin
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-26

Nun das letzte Inegral ist auf jeden Fall kleiner unendlich und damit ist \(\pi_k\) integrierbar oder nicht?


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
nzimme10
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-11-29

Hallo, genau. LG Nico


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