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Universität/Hochschule Homotopie bei stetigen Abbildungen
Abdullarina
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  Themenstart: 2021-11-25 10:44

Hallo zusammen Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe : Sei $f,g : S^1 \rightarrow U \subseteq \mathbb{R}^2$ stetige Abbildungen mit zugehörigen Pfaden(Wege?) $\gamma_f , \gamma_g : [0,1] \rightarrow U$ Zeigen Sie,dass $\gamma_f$ und $\gamma_g$ homotopisch durch geschlossene Pfade(Wege?) ist , genau dann wenn $f$ and $g$ homotopische Abbildungen sind. Was Ich zu wissen glaube: $f,g : S^1 \rightarrow U$ stetig,dann sind $f,g$ homotopisch, wenn $\exists H: S^1 \times I \rightarrow U$ so dass $H(s,0)=f(s) , H(s,1) =g(s), \forall s \in S^1$ $\gamma_f,\gamma_g : I \rightarrow U$ sind ''path homotopic'' wenn $\gamma_f ,\gamma_g$ die selben Endpunkte p,q haben $\exists F: I \times I \rightarrow U$ so dass $F(t,0) = \gamma_f(t) , F(t,1) = \gamma_g(t), F(0,s)=p , F(1,s)=q$ Ich möchte eigentlich die zwei Statements miteinander verbinden, da ich gaube das wäre der richtige Weg zur Lösung, aber mir fällt nicht ein, wie ich weiterfahren soll .. Und können wir eigentlich sagen,dass p = f(s) and q =g(s) oder ist das komplett falsch? Ich hoffe ich bin nicht allzusehr auf dem Holzweg und jemand könnte mir auf die Sprünge helfen?


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-25 13:10

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, am besten schreibst du dir auch noch auf, wie die zu $f$ und $g$ zugehörigen Wege definiert sind, dass du auch alle Definitionen zunächst mal an einem Ort stehen hast. Dann könnten wir weiterüberlegen. LG Nico\(\endgroup\)


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Abdullarina
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-25 14:01

Hmm ich bin mir nicht sicher ob das das ist was du meinst, aber ich hätte es so definiert: $\gamma_f :[0,1] \rightarrow U$ $\gamma_g :[0,1] \rightarrow U$ Und $\gamma_f(0) = \gamma_g(0)$ , $\gamma_f(1) = \gamma_g(1)$ ?


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-25 14:11

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, zu einer Abbildung gehört auch noch die Angabe, was die Abbildung denn überhaupt machen soll. Wenn ich zum Beispiel $h\colon \mathbb R\to \mathbb C$ schreibe, dann hast du keine Ahnung, was $h$ überhaupt machen soll. Wenn ich dann aber noch $h(x)=x^2$ schreibe, dann weißt du genau, welche Abbildung mir vorschwebt. LG Nico\(\endgroup\)


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Abdullarina
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-25 14:49

Tut mir leid, ich komme da leider nicht alleine drauf.. Darf ich das selbst definieren ? also ich nehme ja $(a,b) \in [0,1]$ und dann sende ich das zu $(p,q) \in U \subseteq \mathbb{R}^2$ also $\gamma_f : [0,1] \rightarrow U \subseteq \mathbb{R}^2 $ $(a,b) \rightarrow (p,q)$ oder wie weiss man wie das definiert ist ? Tut mir leid ich stehe da offensichtlich ziemlich auf dem Schlauch gerade


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-25 14:55

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, ich kann es dir nicht sagen. Du sprichst in deinem ersten Beitrag von den zu $f$ und $g$ zugehörigen Wegen/Pfaden und ich zumindest bin mir nicht sicher, was du damit meinst. Irgendwann sollte dieser Begriff in deiner Vorlesung oder in der Literatur mit der du arbeitest ja auch definiert worden sein. LG Nico\(\endgroup\)


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Kezer
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-11-25 15:15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) Die Definition geht wie folgt: Es gibt einen Homöomorphismus $S^1 \cong [0,1]/(0 \sim 1)$. Dann ist z.B. $$\gamma_f : [0,1] \to [0,1]/(0 \sim 1) \cong S^1 \to U,$$ wobei die letzte Abbildung $f$ ist. Wenn das zu abstrakt ist, ist äquivalent z.B. $\gamma_f(t) = f(e^{2 \pi i t})$. ("Homotopic" übersetzt sich übrigens in "homotop". Wege und Pfade sind Synonyme und beides ok.)\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-11-25 16:01

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, @Kezer: Danke, ich dachte vor allem an deine zweite Darstellung, aber die erste Version ist natürlich eleganter. @Abdullarina: Damit solltest du nun arbeiten können. Wir könnten ja damit beginnen, dass wir annehmen, dass $H\colon S^1\times [0,1]\to U$ eine Homotopie zwischen $f$ und $g$ ist. Nun haben wir die Abbildungen $$ \gamma_f\colon [0,1]\to U, \ \gamma_f(t)=f(\e^{2\pi \i t}), \quad \gamma_g\colon [0,1]\to U, \ \gamma_g(t)=g(\e^{2\pi \i t}). $$ Nun gilt es zunächst zu zeigen, dass $\gamma_f$ und $\gamma_g$ die selben Anfangs- und Endpunkte besitzen (nennen wir sie $x_0$ und $x_1$) und dass es eine Homotopie $\tilde H\colon [0,1]^2\to U$ zwischen $\gamma_f$ und $\gamma_g$ gibt, so dass $\tilde H(0,t)=x_0$ und $\tilde H(1,t)=x_1$ für alle $t\in[0,1]$ gilt. LG Nico\(\endgroup\)


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