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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Nachweis eines Körpers mit 2 Verknüpfungen
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Universität/Hochschule Nachweis eines Körpers mit 2 Verknüpfungen
elyminas
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  Themenstart: 2021-11-25 17:22

Hallo ihr Lieben, ich beiße mich momentan durch das Mathemodul für meinen Informatik bzw Data-Science Bachelor und Stehe vor folgender Übungsaufgabe: Zeigen Sie, dass (R × R, ⊕, ) mit den Verknüpfungen (x1, y1) ⊕ (x2, y2) := (x1 + x2, y1 + y2), (x1, y1) (*) (x2, y2) := (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1) ein Körper ist. Ich habe mir die entsprechenden Vorlesungen und diverse Videos auf YT zu dem Thema angezeigt und verstanden wie man zB. für Q(sqrt(2) ⊕, (*)) den Körpernachweis führen kann, aber verstehe jetzt partout nicht wie das an dieser Stelle für die mit Tupeln definierten Verknüpfungen gehen soll. Daher habe ich auch leider keinen wirklichen Ansatz. Ich würde mich über eure Hilfe und eine anschauliche Erklärung arg freuen, leider habe ich nur noch bis morgen mittag Zeit dafür! Vielen Dank und einen schönen Abend, euer elyminas


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-25 17:38

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Nun, da wird man das eine oder andere Körperaxiom nachrechnen müssen. Wie sieht es denn mit der Addition aus? Ist da insbesondere etwas anders als in \((\IR,+,\cdot)\)? Falls nein, dann gelten auch die Gruppenaxiome für die Addition bzw. man kann sie in diesem Fall darauf zurückführen. Verbleiben die Axiome für die Multiplikation sowie der Nachweis eines Distributivgesetzes. Als kleinen Tipp, damit man sich das ganze besser vorstellen kann eine Frage: kommen dir diese beiden Verknüpfunen nicht irgendwie (aus einem anderen Zusammenhang) bekannt vor? ... Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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LetsLearnTogether
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-25 18:39

Hallo, ich denke, dass es erstmal ganz hilfreich ist, wenn sich mit diesen Vernüpfungen erstmal vertraut macht. Außerdem ist es ganz entscheidend(!), dass wir hier auch über den Körper $(\mathbb{R},+,\cdot)$ sprechen, und du dir klar machst, an welchen Stellen die bekannte Körperstruktur der reellen Zahlen hier eingeht. Wir haben: $\oplus:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ gegeben durch $(x_1, y_1)\oplus (x_2,y_2)=(x_1+x_2, y_1+y_2)$. Das heißt die Addition auf diesem vermeindlichen Körper, ist komponentenweise definiert. Was wäre etwa $(1,2)\oplus (1,0)$? Diese Frage kannst du sicherlich leicht beantworten. Nun benötigt ein Körper ja auch additive Inverse (ein Körperaxiom), und vor allem ein neutrales Element (weiteres Körperaxiom). Was sollte denn das neutrale Element bezüglich $\oplus$ sein? Welches Tupel $(e_1, e_2)$ sollte hier die Rolle der Null spielen? Erfüllt also $(x_1,y_2)\oplus (e_1, e_2)=(x_1,y_2)$? Diese Frage kannst du bestimmt leicht beantworten, ist aber sehr wichtig. Denn jetzt wo wir ein neutrales Element gefunden haben (es gibt nur eine sinnvolle Wahl. Kannst du das näher begründen?), können wir uns Fragen, ob wir auch additive Inverse haben. Wie sieht also das additive Inverse von etwa $(1,2)$, oder $(1,0)$ aus? Anders gefragt: Welches Paar $(x_1, y_1)$ erfüllt jeweils $(1,2)\oplus (x_1, y_1)=(e_1,e_2)$ bzw. $(1,0)\oplus (x_1,y_1)=(e_1,e_2)$ (Also das Paar $(x_1,y_1)$ ist in beiden Rechnungen natürlich unterschiedlich und anzugeben. Wobei $(e_1,e_2)$ unser oben bestimmtes neutrales Element der Addition ist. Setze alles zusammen.) Wie sieht es mit den ganzen anderen Eigenschaften aus? Kannst du diese prüfen, bzw. dir erstmal klar machen welche Eigenschaften noch zu prüfen sind (schlage die Axiome nach!) und dann umsetzen? Bisher haben wir uns noch nicht die Multiplikation angesehen: $\odot:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ mit $(x_1, y_1)\odot (x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$ Das sieht schon komplizierter aus. Die Fragen bleiben aber die gleichen. Erstmal sollten wir versuchen ein neutrales Element der Multiplikation $\odot$ zu finden. Also $(x_1,y_1)\odot (m_1,m_2)=(x_1, y_1)$. Dazu sollte man sich ebenfalls erstmal mit dieser kompliziert anmutenden Multiplikation vertraut machen. Was ist $(1,2)\odot (1,1)$ oder $(1,2)\odot (0,1)$? Obige Gleichung: $(x_1,y_1)\odot (m_1,m_2)=(x_1, y_1)$ führt dich dann (im Zweifelsfall, wenn du das neutrale Element nicht erraten kannst) auf ein zu lösendes Gleichungssystem. Haben wir ein neutrales Element der Multiplikation dann erstmal bestimmt, müssen wir nachweisen, dass unsere (von "Null") verschiedenen Elemente ein multiplikatives Inverses haben. Wie geht das? Außerdem sind die weiteren Körperaxiome zu prüfen. Welche Fehlen denn dann noch? \quoteon Als kleinen Tipp, damit man sich das ganze besser vorstellen kann eine Frage: kommen dir diese beiden Verknüpfunen nicht irgendwie (aus einem anderen Zusammenhang) bekannt vor? ... \quoteoff Vermutlich ist dies bisher nicht bekannt, denn darauf zielt die Aufgabe ja gerade ab. Ich nehme die Antwort also vorweg. Hier wird der Körper $\mathbb{C}$ der komplexen Zahlen konstruiert. Mit diesem Hinweis werden obige Rechnungen eventuell dir leichter fallen. Ist dir dieser Körper $\mathbb{C}$ bisher unbekannt, so kannst du das hier erstmal ignorieren.


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