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  Summenformel durch Interpolation bestimmen |
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Pathfinder
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 |  Themenstart: 2021-11-26
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Die Interpolation konnte ich leider noch nicht so richtig verinnerlichen🙁 Ich weiß leider gar nicht, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll...
Kann mir jemand einen Tipp geben?
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Kuestenkind
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|  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-26
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Huhu Pathfinder,
es ist schwierig zu helfen, wenn du überhaupt keine Idee hast. Es wird dir doch irgendjemand etwas dazu erzählt haben?! Hast du keine Aufzeichnungen? Was für ein Grad hat das Polynom, welches wir ansetzen wollen? Fragen über Fragen...
Gruß,
Küstenkind
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Pathfinder
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-26
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\quoteon(2021-11-26 16:03 - Kuestenkind in Beitrag No. 1)
Huhu Pathfinder,
es ist schwierig zu helfen, wenn du überhaupt keine Idee hast. Es wird dir doch irgendjemand etwas dazu erzählt haben?! Hast du keine Aufzeichnungen? Was für ein Grad hat das Polynom, welches wir ansetzen wollen? Fragen über Fragen...
Gruß,
Küstenkind
\quoteoff
Ich weiß leider wie gesagt nicht wie ich die Summenformel interpretieren soll. Soll ich etwa ein Polynom finden, für welches gilt f(0)=0, f(1)=0, f(2)=1 ... f(n) = (n^2-1)/2?
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zippy
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-26
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\quoteon(2021-11-26 19:23 - Pathfinder in Beitrag No. 2)
Soll ich etwa ein Polynom finden, für welches gilt f(0)=0, f(1)=0, f(2)=1 ... f(n) = (n^2-1)/2?
\quoteoff
So ungefähr: Du sollst "raten", dass $s_n$ ein Polynom $f(n)$ eines bestimmten Grades in $n$ ist, dieses Polynom dann durch Interpolation an einer geeigneten Menge von Stellen bestimmen und schließlich $s_n=f(n)$ für alle $n$ durch Induktion zeigen.
--zippy
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Pathfinder
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-26
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\quoteon(2021-11-26 19:34 - zippy in Beitrag No. 3)
\quoteon(2021-11-26 19:23 - Pathfinder in Beitrag No. 2)
Soll ich etwa ein Polynom finden, für welches gilt f(0)=0, f(1)=0, f(2)=1 ... f(n) = (n^2-1)/2?
\quoteoff
So ungefähr: Du sollst "raten", dass $s_n$ ein Polynom $f(n)$ eines bestimmten Grades in $n$ ist, dieses Polynom dann durch Interpolation an einer geeigneten Menge von Stellen bestimmen und schließlich $s_n=f(n)$ für alle $n$ durch Induktion zeigen.
--zippy
\quoteoff
Hmmm, okay, wie kann man das denn am besten erraten? Und welche Interpolationsmethode nehme ich da? Ich weiß irgendwie nicht so recht wie ich hier anfangen soll..
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zippy
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-26
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\quoteon(2021-11-26 22:13 - Pathfinder in Beitrag No. 4)
Hmmm, okay, wie kann man das denn am besten erraten?
\quoteoff
Du kennst sicher die Summen $\sum_{i=0}^n1=n+1$ und $\sum_{i=0}^ni=n(n+1)/2$. Das lässt vermuten, dass in deinem Fall $f$ ein Polynom 3. Grades ist.
Und wegen $f(0)=f(1)=0$ muss $f(n)=n(n-1)(a\,n+b)$ sein. Jetzt musst du nur noch $a$ und $b$ bestimmen.
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Pathfinder
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-27
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\quoteon(2021-11-26 22:34 - zippy in Beitrag No. 5)
\quoteon(2021-11-26 22:13 - Pathfinder in Beitrag No. 4)
Hmmm, okay, wie kann man das denn am besten erraten?
\quoteoff
Du kennst sicher die Summen $\sum_{i=0}^n1=n+1$ und $\sum_{i=0}^ni=n(n+1)/2$. Das lässt vermuten, dass in deinem Fall $f$ ein Polynom 3. Grades ist.
Und wegen $f(0)=f(1)=0$ muss $f(n)=n(n-1)(a\,n+b)$ sein. Jetzt musst du nur noch $a$ und $b$ bestimmen.
\quoteoff
Was genau bringen mir diese beiden Summen denn und wie kommst du zu der Vermutung, dass f ein Polynom 3. Grades ist?🤔 Ich stehe leider noch aufm Schlauch...
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zippy
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-11-27
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\quoteon(2021-11-27 01:15 - Pathfinder in Beitrag No. 6)
Was genau bringen mir diese beiden Summen denn und wie kommst du zu der Vermutung, dass f ein Polynom 3. Grades ist?
\quoteoff
Die Summe über ein Polynom 0. Grades in $i$ ist ein Polynom 1. Grades in $n$.
Die Summe über ein Polynom 1. Grades in $i$ ist ein Polynom 2. Grades in $n$.
Die Summe über ein Polynom 2. Grades in $i$ ist ein Polynom ?. Grades in $n$.
Welchen Wert für ? könnte man vermuten?
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Pathfinder
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-27
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\quoteon(2021-11-27 01:31 - zippy in Beitrag No. 7)
\quoteon(2021-11-27 01:15 - Pathfinder in Beitrag No. 6)
Was genau bringen mir diese beiden Summen denn und wie kommst du zu der Vermutung, dass f ein Polynom 3. Grades ist?
\quoteoff
Die Summe über ein Polynom 0. Grades in $i$ ist ein Polynom 1. Grades in $n$.
Die Summe über ein Polynom 1. Grades in $i$ ist ein Polynom 2. Grades in $n$.
Die Summe über ein Polynom 2. Grades in $i$ ist ein Polynom ?. Grades in $n$.
Welchen Wert für ? könnte man vermuten?
\quoteoff
Ahh, okay, das macht Sinn! Natürlich erwarten wir dann ein Polynom dritten Grades. Ich hab mal deine Formel für f(n) benutzt und a=1/n und b=-1/2 gewählt, passt das so? In dem Falle käme halt dann nur ein Polynom 2 Grades raus, weil sich die n wegkürzen. Bin mir da dann nicht so sicher ob das richtig ist.
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Kuestenkind
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-11-27
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Huhu Pathfinder,
du kannst dir auch eine Tabelle machen und Differenzen ausrechnen. Dein Interpolationspolynom berechnet sich denn gemäß \(f(n)=\sum\limits_{k=0} \frac{(\Delta^k f)(0)}{k!}n^{\underline{k}}\), wobei \((\Delta f)(n):=f(n+1)-f(n)\) und \(n^{\underline{k}}\) die fallende Faktorielle ist.
\(\begin{eqnarray*}
\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}}\\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n & 0 & 1 &2 & 3 &4 &5 \T \\\hline f(n) \T & 0 \T & 0 \T &1 \T &4 \T &10 \T &20 \\\hline \Delta f \T & 0 \T & 1 \T &3\T &6\T &10 \\\hline \Delta^2 f \T & 1 \T &2 \T &3 \T &4 \\\hline \Delta^3 f \T & 1 \T & 1 \T &1 \\\hline\end{array}\\
\end{eqnarray*}\)
In deinem Fall ist somit \(f(n)=\frac{n}{2}(n-1)+\frac{n}{6}(n-1)(n-2)\).
Damit solltest du auch sehen, dass schon ein Polynom von Grad 3 herauskommt.
Gruß,
Küstenkind
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-11-27
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\quoteon(2021-11-27 11:43 - Pathfinder in Beitrag No. 8)
und a=1/n und b=-1/2 gewählt, passt das so?
\quoteoff
Nein, die Koeffizienten eines Polynoms sind feste Zahlen, keine Funktionen der Variablen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
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Pathfinder
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-27
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\quoteon(2021-11-27 12:12 - zippy in Beitrag No. 10)
\quoteon(2021-11-27 11:43 - Pathfinder in Beitrag No. 8)
und a=1/n und b=-1/2 gewählt, passt das so?
\quoteoff
Nein, die Koeffizienten eines Polynoms sind feste Zahlen, keine Funktionen der Variablen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
\quoteoff
Hmm, ich weiß leider dann nicht, wie ich die Koeffizienten bestimmen soll :/
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Caban
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 | Beitrag No.12, eingetragen 2021-11-27
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Hallo
Du stellst ein LGS mit 4 Unbekannten auf.
Gruß Caban
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-11-27
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Lies in meiner Tabelle \(f(2)\) und \(f(3)\) ab und setze ein. Das macht zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
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zippy
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| Beitrag No.14, eingetragen 2021-11-27
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\quoteon(2021-11-27 12:32 - Pathfinder in Beitrag No. 11)
Hmm, ich weiß leider dann nicht, wie ich die Koeffizienten bestimmen soll
\quoteoff
Küstenkind hat dir die Lösung ja inzwischen hingeschrieben: $a=b=1/6$.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
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zippy
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-11-27
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\quoteon(2021-11-27 12:34 - Caban in Beitrag No. 12)
Du stellst ein LGS mit 4 Unbekannten auf.
\quoteoff
Es sind doch nur noch zwei ($a$ und $b$) zu bestimmen. Die ergeben sich aus:$$2\cdot(2\cdot a+b)=1\;,\quad 6\cdot(3\cdot a+b)=4$$
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Caban
Senior
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.16, eingetragen 2021-11-27
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Hallo
Man kann hier schonmal zwei Paramter bestimmen, aber allgemein sind es vier Unbekannte.
Gruß Caban
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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2374
| Beitrag No.17, eingetragen 2021-11-27
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Man kann auch lesen, was hier schon so geschrieben wurde:
\quoteon(2021-11-26 22:34 - zippy in Beitrag No. 5)
Und wegen $f(0)=f(1)=0$ muss $f(n)=n(n-1)(a\,n+b)$ sein. Jetzt musst du nur noch $a$ und $b$ bestimmen.
\quoteoff
Gruß,
Küstenkind
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Pathfinder
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-27
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\quoteon(2021-11-27 12:35 - Kuestenkind in Beitrag No. 13)
Lies in meiner Tabelle \(f(2)\) und \(f(3)\) ab und setze ein. Das macht zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
\quoteoff
Okay... Das Problem ist nur, dass wir diese Methoden überhaupt nicht behandelt haben, deswegen wüsste ich gerne ob es einen anderen Weg gibt, a und b zu ermitteln...Aber ich kann es erstmal so aufschreiben...
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zippy
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| Beitrag No.19, eingetragen 2021-11-27
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\quoteon(2021-11-27 12:54 - Pathfinder in Beitrag No. 18)
Das Problem ist nur, dass wir diese Methoden überhaupt nicht behandelt haben, deswegen wüsste ich gerne ob es einen anderen Weg gibt, a und b zu ermitteln...
\quoteoff
Um dieses Gleichungssystem zu lösen, benötigst du eigentlich keine besonderen Methoden:
\quoteon(2021-11-27 12:37 - zippy in Beitrag No. 15)
$$2\cdot(2\cdot a+b)=1\;,\quad 6\cdot(3\cdot a+b)=4$$
\quoteoff
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Pathfinder
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-27
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\quoteon(2021-11-27 13:08 - zippy in Beitrag No. 19)
\quoteon(2021-11-27 12:54 - Pathfinder in Beitrag No. 18)
Das Problem ist nur, dass wir diese Methoden überhaupt nicht behandelt haben, deswegen wüsste ich gerne ob es einen anderen Weg gibt, a und b zu ermitteln...
\quoteoff
Um dieses Gleichungssystem zu lösen, benötigst du eigentlich keine besonderen Methoden:
\quoteon(2021-11-27 12:37 - zippy in Beitrag No. 15)
$$2\cdot(2\cdot a+b)=1\;,\quad 6\cdot(3\cdot a+b)=4$$
\quoteoff
\quoteoff
Sorry, ich habe deine Antwort nicht gelesen. Jetzt verstehe ich auch wie das mit den a und b gemeint ist! Jetzt macht das alles Sinn! Die Induktion hat auch wunderbar geklappt. Vielen Dank für die Hilfe!
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Kuestenkind
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| Beitrag No.21, eingetragen 2021-11-27
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Da zippy nun (größtenteils) deine Aufgabe gelöst hat, könntest du dich ja nochmal eigenständig an folgender Summe versuchen: \(\sum_\limits{i=0}^n \frac{i^3-i^2}{2}\). Dieses nur, falls du nochmal üben möchtest. Auf die Induktion kannst du ja denn auch gerne verzichten.
Gruß,
Küstenkind
PS: Wenn deine Frage damit geklärt ist, darfst du den Thread gerne abhaken.
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