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Strukturen und Algebra » Gruppen » Wie viele Gruppenhomomorphismen von ℤ nach ℤ/nℤ und wie viele von ℤ/nℤ nach ℤ?
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Universität/Hochschule Wie viele Gruppenhomomorphismen von ℤ nach ℤ/nℤ und wie viele von ℤ/nℤ nach ℤ?
Mathestudent664
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  Themenstart: 2021-11-27

Hallo zusammen, mein Problem ist in dem Titel schon beschrieben, ich soll zeigen: wie viele Gruppenhomomorphismen φ: ℤ → ℤ /nℤ gibt es und wie viele Gruppenhomomorphismen ψ: ℤ/nℤ → ℤ gibt es? Ich habe leider überhaupt keinen Ansatz und bräuchte daher Hilfe. Danke schonmal im Voraus.


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LetsLearnTogether
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-27

Hallo, mach dir doch mal ein paar Beispiele. Wie sieht es für n=2, 3 aus? Kannst du alle Gruppenhomomorphismen hinschreiben? Wenn nicht, dann legt das andere Verständnisschwierigkeiten offen. Also wenn du gar nicht weißt, was zu tun ist, dann probiere erstmal das.


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Red_
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-27

Wo wird die 1 hin geschickt? Sagen wir mal auf $c$. Wo wird dann die 2 hingeschickt? Wohin die -1? Erkennst du ein Muster? Stelle dir selbst Fragen, um Probleme zu lösen.


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Mathestudent664
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-27

Also für ℤ nach ℤ Modulo 2, würde ich sagen, dass es 4 Möglichkeiten gibt: 0 wird immer auf Restklasse 0 abgebildet. Fall 1: Alle x in ℤ\{0} werden auf Restklasse 0 abgebildet. Fall 2: Alle x in ℤ\{0} werden auf Restklasse 1 abgebildet. Fall 3: Alle x in ℤ + werden auf RK 0 und alle y in ℤ- werden auf RK 1 abgebildet. Fall 4: Alle x in ℤ + werden auf RK 1 und alle y in ℤ- werden auf RK 0 abgebildet. Also 4 Möglichkeiten. Bei ℤ modulo 3 sind es 8. Meine Vermutung: es gibt 2^n Möglichkeiten für n aus ℕ? Nun die Frage wie ich das für ℤ modulo n zeige.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
jpf
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-12-12

Hi, Für einen Gruppenhomomorphismus \(\phi\) gilt ja \(\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)\). Schau mal ob dieses Kriterium wirklich für alle deine Beispiele erfüllt ist. Unter anderem muss z.B. \(\phi(1 + 1) = \phi(1) + \phi(1)\) gelten. Außerdem gilt \(\phi(-1) = -\phi(1)\), denn \(\phi(-1) + \phi(1) = \phi(-1 + 1) = \phi(0) = 0\). Vielleicht solltest du dir einfach einmal einen Wert für \(\phi(1)\) vorgeben und schauen für welche \(z \in \mathbb{Z}\) du dann auch etwas für \(\phi(z)\) aussagen kannst.


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HellsKitchen
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-12

Ist \(\Theta:\) G\(\longrightarrow\)H ein Homomorphismus von Gruppen, dann ist \(\Theta(G)\) eine Untergruppe von H. zu \(\phi\): Was sind die Untergruppen der zyklischen Gruppe: \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) ? zu \(\psi\): Was sind die (\(\textbf{endlichen}\)) Untergruppen von \(\mathbb{Z}\) ? Gruß HellsKitchen


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