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Analysis » Ungleichungen » Herleitung einer Ungleichung/Abschätzung
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Universität/Hochschule J Herleitung einer Ungleichung/Abschätzung
PeterMeier123
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  Themenstart: 2021-11-30

Guten Abend, Bezeichnen wir die $n$-Bit lange Ganzzahl, die $a\cdot 2^n$ am nächsten kommt, mit $b$. Es gelte zum einen $0 \leq b \leq 2^n -1$ und $a \in [0,1]$. Wenn nun $\Delta = a - b \cdot 2^{-n}$, dann ist $|\Delta| \leq 2^{-(n+1)}$ Ich kann hier leider nicht nachvollziehen, warum und wie man hier auf die Ungleichung/Abschätzung von $|\Delta| \leq 2^{-(n+1)}$ kommt...🤔 Hat diesbezüglich Jemand eine Idee, warum man das so machen kann?


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-30

Hallo PeterMeier123, betrachte $2^n \Delta$ und überlege Dir, was mit "am nächsten kommen" gemeint ist. Ich hoffe, das hilft Dir, Roland


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PeterMeier123
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Hallo rlk, ich würde einfach mal mit einem Beispiel anfangen. Sei $a = \frac{1}{3}$ und beschränkt man sich auf 3-Bit, dann ist $a\cdot 2^3 = \frac{1}{3}2^3 = \frac{8}{3} \approx 2.666$. Jetzt gibt es zwei (ganze) Zahlen $b$, die in der "Umgebung" von $\frac{8}{3}$ liegen. Dies ist einmal die 2 und die 3. Die Abweichungen zu $\frac{8}{3}$ belaufen sich für die 2 auf 2/3 und für die 3 auf -1/3. Das entspricht dann dem $\Delta\cdot 2^{n} = a\cdot 2^{n} - b$. Die Abweichung kann also positiv oder negativ sein, wobei wir mit 3 den geringeren "Fehler" hätten und näher an dem Gesuchten sind. Geht das in die Richtung, von dem was du mit \quoteon betrachte $2^n \Delta$ und überlege Dir, was mit "am nächsten kommen" gemeint ist. \quoteoff gemeint hast? Dann wäre natürlich noch interessant, wie man dann $|\Delta| \leq 2^{-(n+1)}$ begründet... 🙂


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rlk
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-02

Hallo PeterMeier123, welche Werte hat die Abweichung $\delta = 2^n \Delta$ in Deinem Beispiel für die beiden Werte von $b$? Welche anschauliche Bezeichnung für $\delta$ fällt Dir ein? Was ist der größte Wert, den der Betrag dieser Abweichung annehmen kann? Ich hoffe, das hilft Dir, Roland


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PeterMeier123
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-03

Hallo rlk, die Werte der Abweichungen hatte ich in meinem vorherigen Beitrag genannt. Das $\delta$ ist quasi die Abweichung zu den beiden nächsten ganzen "Intervallgrenzen", so würde ich das zumindest auffassen. Maximal kann dies werden, wenn die Abweichungen zu beiden Intervallgrenzen (Grenze a = 2, Grenze b = 3) genau gleich sind, es ist dann $0 < |2^n\delta| < 0.5$. Stellt man die letzte Ungleichung um, folgt $|\Delta| \leq 2^{-(n+1)}$. Kann man das so sagen?


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rlk
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-03

Hallo PeterMeier123, die Abweichung $\delta$ hängt mit dem gebrochenen Teil von $2^n a$ zusammen. Deine Ungleichung ist fast richtig, die Grenzen 0 und 0.5 müssen aber eingeschlossen werden, sie muss also \[0 \leq |\delta| \leq 0.5 \] lauten. Servus, Roland


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PeterMeier123
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-05

Hi Roland, ja die Grenzen 0 und 0.5 müssen eingeschlossen werden, das stimmt! Aber fehlt bei dir nicht noch das $2^n$ in der Ungleichung?


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rlk
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-12-05

Hallo PeterMeier123, mit dem in Beitrag 3 eingeführten $\delta$ meine ich die Differenz $2^n a - b$, die ich viel anschaulicher finde als $\Delta=2^{-n}\delta$. Wenn Du die Ungleichung für $\delta$ aus Beitrag 5 mit $2^{-n}$ multiplizierst, erhältst Du die gesuchte Ungleichung für $\Delta$. Servus, Roland


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