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Universität/Hochschule Orthogonale Matrizen, Householder-Matrizen
Flikflak
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  Themenstart: 2021-12-03

Hallo, meine Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass zu beliebigen x,y \el\ R^n ohne {0} nicht immer eine orthogonale Matrix Q existiert mit Qx = y. Welche Bedingung muss man mindestens zusätzlich an x und y stellen, damit solch eine Matrix existiert? (mit Beweis) meine Frage wurde bereits hier behandelt, aber nicht abschließend. Ich verstehe die Aufgabe so, dass ich erst ein Beispiel finden muss, in dem zu beliebigen x,y keine orthogonale Matrix exisitiert, sodass Qx=y. Dann muss ich die notwendige Bedingung ausmachen damit Qx=y immer gilt und abschließend muss ich zeigen, dass die hinreichend ist. Aber: a) Zur Konstruktion eines Beispiels kann ich doch einfach willkürlich x,y wählen, auf das x irgendeine orthogonale Matrix anwenden und dann zeigen, dass da nicht y herauskommt, oder? b) Die notwendige Bedingung ging bereits aus dem verlinkten Thread hervor (||x||=||y||). c) Wie zeige ich nun aber ||x||=||y||=>Qx=y? Und inwieweit spielen Householder-Matrizen dabei eine Rolle. Wir hatten die nur leicht angeschnitten in der Vorlesung. Beste Grüße 🙂


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-03

Hallo, a) Es genügt nicht irgendeine orthogonale spezielle Matrix $Q$ zu nehmen, sondern du sollst zeigen, dass für alle orthogonale Matrizen $Q$ gilt $Qx\neq y$. b) Ja, du musst die notwendige Bedingung noch zeigen, aber das schaffst du :) c) Du kannst für konkrete $x$ und $y$ eine Householdermatrix $Q$ mit $Qx=y$ konstruieren.


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Flikflak
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-06

Ok, also ich habe jetzt: Es gilt: ||Qx||=||x||, womit ein Q existiert mit Qx=y, Q orthogonal, gesetzt ||x||=||y|| (notwendige Bedingung). Sei also ||x||=||y||, sodass Q1,Q2 existieren mit Q1x=Q2y<=>Q1Q2^-1x=y<=>Q*x=y, wobei Q*:=Q1Q2^-1 und Q1Q2^-1 jeweils orthogonal und zusammen die QR-Zerlegung von Q* sind. Dann ist Q* als Produkt zweier orthogonaler Matrizen auch orthogonal. => ||x||=||y||<=>Q1x=Q2y<=>Q*x=y. Damit ist ||x||=||y|| eine hinreichende Bedingung für die Existenz einer orthogonalen Matrix Q, sodass Qx=y. Wodurch für beliebige x,y in R^n\{0} nicht immer eine orthogonale Matrix Q existiert mit Qx=y. Kann mir wer sagen wo noch etwas verkehrt ist oder gar fehlt?


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